ВПР 2026 Математика 8 класс — Тренировочный вариант №1 (с решениями)

ВПР Математика 8 класс — Тренировочный вариант №1 (по образцу демоверсии), с решениями

Структура: Часть 1 — №1–12 (краткий ответ), Часть 2 — №13–18 (развёрнутый ответ). Задания подобраны по типам, как в демоверсии 2026, но с новыми числами и формулировками.

Часть 1

Задание 1

Вычислите: 3,6 · 4,5 − 5,7.

Решение. 3,6 · 4,5 = 16,20; 16,2 − 5,7 = 10,5.

Ответ: 10,5.

Задание 2

Решите уравнение: (4x − 3)(x + 2) = 0.

Решение. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
4x − 3 = 0 ⇒ x = 3/4; x + 2 = 0 ⇒ x = −2.

Ответ: 3/4; −2.

Задание 3

Одно число больше другого на 18, а их произведение равно −135. Найдите эти числа.

Решение.

  1. Пусть меньшее число y, тогда большее — y + 18.
  2. y(y + 18) = −135 ⇒ y2 + 18y + 135 = 0.
  3. (y + 9)(y + 15) = 0 ⇒ y = −9 или y = −15.
  4. Пары: (−9; 9) и (−15; 3).

Ответ: (−9; 9) или (−15; 3).

Задание 4

Найдите все x, если x − a > 0, b − x > 0, 2x < a + b, где a = −2, b = 3.

Решение. Из неравенств: x > −2; x < 3; x < 0,5. Совместное решение — (−2; 0,5).

Ответ: все x из интервала (−2; 0,5).

Задание 5

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые задают эти функции.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ: А Б В Г

Решение.

  1. График А. Прямая проходит через начало координат и возрастает ⇒ k > 0 ⇒ функция вида y = 3x.А – 4.
  2. График Б. Прямая через начало координат и убывает ⇒ k < 0 ⇒ функция вида y = −3x.Б – 2.
  3. График В. Гипербола расположена во II и IV четвертях (при x > 0 значения отрицательные) ⇒ знак «−» перед 1/x ⇒ y = −3/x.В – 1.
  4. График Г. Гипербола в I и III четвертях (при x > 0 значения положительные) ⇒ знак «+» ⇒ y = 3/x.Г – 3.

Ответ: 4213.

Задание 6

Отметьте на числовой прямой число √22.

Решение. 42=16, 52=25 ⇒ √22 находится между 4 и 5, ближе к 5 (примерно 4,69).

Ответ: точка между 4 и 5, ближе к 5.

Задание 7

Вычислите значение выражения ((x·y + 2y2)/(6x)) · (3x/(x + 2y)) при x = 2√2, y = −3.

Решение.

  1. xy + 2y2 = y(x + 2y).
  2. Подставим: ( y(x + 2y)/(6x) ) · ( 3x/(x + 2y) ).
  3. Сокращаем (x + 2y) и x: получаем 3y/6 = y/2.
  4. y/2 = −3/2 = −1,5.

Ответ: −1,5.

Задание 8

Среди 20 команд выступают X, Y, Z. Какова вероятность, что Z выступит раньше X, а X — раньше Y?

Решение. Порядок трёх заданных команд равновероятен (3! = 6 вариантов), подходит один: Z < X < Y.

Ответ: 1/6.

Задание 9

Решение.

В треугольнике ABC угол C = 90°, гипотенуза AB = 25, sin A = 4/5. Найдите AC.

    1. В прямоугольном треугольнике при угле A:sin A = противолежащий катет / гипотенуза = BC / AB.Значит BC = sin A · AB = (4/5) · 25 = 20.
    2. По теореме Пифагора:AC = √(AB² − BC²) = √(25² − 20²) = √(625 − 400) = √225 = 15.

Ответ: 15.

Задание 10

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён острый угол. Найдите тангенс этого угла.

Решение.

На клетчатой бумаге (1×1) дана наклонная сторона треугольника. Требуется найти тангенс острого угла при основании.

  1. Возьмём два крайних отмеченных конца отрезка. По клеткам считаем приращения:по горизонтали (прилежащий катет) — 7 клеток;по вертикали (противолежащий катет) — 4 клетки.
  2. Тангенс угла — отношение вертикального приращения к горизонтальному:tan α = (противолежащий)/(прилежащий) = 4/7.

Ответ: 4/7 (≈ 0,571).

Задание 11

На рисунке изображён граф. Катя обвела этот граф, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно ребро дважды.
Начала она в вершине D. В какой вершине Катя закончила обводить граф?

Решение.

Катя обводит граф, не отрывая карандаша и не проходя ни одно ребро дважды. Начало — в вершине D. Требуется узнать, где она закончила.

Идея. Такой маршрут — это эйлерова цепь. В неориентированном графе она существует тогда и только тогда, когда ровно две вершины имеют нечётную степень. Цепь начинается в одной из них и заканчивается в другой.

Степени вершин по рисунку.

  • A — 2 (две дуги большого круга);
  • B — 2 (две дуги большого круга);
  • O — 4 (четыре «спицы» к E, F, C, D);
  • E — 4 (две дуги малого круга + 1 дуга большого + 1 спица к O);
  • C — 4 (две дуги малого круга + 1 дуга большого + 1 спица к O);
  • D — 3 (две дуги малого круга + 1 спица к O) — нечётная;
  • F — 3 (две дуги малого круга + 1 спица к O) — нечётная.

В графе нечётных вершин ровно две: D и F. Значит, начав в D, цепь должна завершиться в другой нечётной вершине — F.

Ответ: F.

Задание 12

Выберите верное утверждение:

  1. Если в параллелограмме одна сторона меньше другой, то это ромб.
  2. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию совпадает с высотой и биссектрисой.
  3. В любом четырёхугольнике, если диагонали равны, то он квадрат.
  4. В любой трапеции углы при одном основании равны.

Решение. Верно (2). Остальные неверны (есть контрпримеры).

Ответ: 2.

Часть 2

Задание 13

Решите уравнение: 4x2 − 9x + 2 = 2x2 − 9x + 10.

Решение:

  1. Переносим все члены в левую часть:4x2 − 9x + 2 − (2x2 − 9x + 10) = 0.
  2. Раскрываем скобки:4x2 − 9x + 2 − 2x2 + 9x − 10 = 0.
  3. Собираем подобные:(4x2 − 2x2) + (−9x + 9x) + (2 − 10) = 0.
  4. Получаем:2x2 − 8 = 0.
  5. Делим на 2:x2 − 4 = 0.
  6. Решаем:x2 = 4 ⇒ x = ±2.

Ответ: x = −2, x = 2.

Задание 14

На диаграмме представлены данные о количестве ледников в некоторых ледниковых районах России. По горизонтали указаны ледниковые районы, а по вертикали — количество ледников.

Ответьте на вопросы.
1) В каких ледниковых районах России насчитывается более 800 ледников?
Ответ: __________________________________________________________________________
2) Оцените (найдите приближённо), на сколько больше ледников на Камчатке, чем
на Северной Земле.
Ответ: ___________________________

Решение.

Ответ:
Ответы: 1) Корякское нагорье, Алтай;
2) любое значение от 450 до 550 .

Задание 15

Расстояние между пунктами A и B — 60 км. Пешеход вышел из A в 9:00 со скоростью 4 км/ч. В 10:00 навстречу из B выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Во сколько они встретились и на каком расстоянии от A?

Решение.

  1. К 10:00 пешеход прошёл 4 км; осталось 56 км.
  2. Скорость сближения 4 + 12 = 16 км/ч.
  3. Время после 10:00 до встречи: 56/16 = 3,5 ч = 3 ч 30 мин.
  4. Встреча: 13:30. Расстояние от A: пешеход прошёл 4,5 ч · 4 = 18 км.

Ответ: 13:30; 18 км от A.

Задание 16

Правильный игральный кубик бросают два раза.
На сколько вероятность события «сумма выпавших очков равна 7» больше вероятности события «сумма выпавших очков равна 4»?

Решение

  1. Всего равновозможных исходов при двух бросках: 6 · 6 = 36.
  2. Перечислим исходы с суммой 7:
    (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — 6 исходов.Вероятность: P(сумма = 7) = 6/36 = 1/6.
  3. Перечислим исходы с суммой 4:
    (1,3), (2,2), (3,1) — 3 исхода.Вероятность: P(сумма = 4) = 3/36 = 1/12.
  4. Разность вероятностей:P(7) − P(4) = 1/6 − 1/12 = 2/12 − 1/12 = 1/12.

Ответ: на 1/12 (то есть на 0,083(3)) больше.

Задание 17

Найдите значение выражения:

(4 / (2 − √3)) − 2√3

Решение:

  1. Рационализируем знаменатель:

    4 / (2 − √3) = (4 · (2 + √3)) / ((2 − √3)(2 + √3))

  2. Вычислим знаменатель:

    (2 − √3)(2 + √3) = 4 − 3 = 1.

  3. Получаем:

    4 / (2 − √3) = 4(2 + √3) = 8 + 4√3.

  4. Вычитаем 2√3:

    (8 + 4√3) − 2√3 = 8 + 2√3.

  5. Если требуется получить целое число, заметим, что можно изменить задание:

    Например, (4 / (2 + √3)) + 2√3 даст целое число:

    Рационализируем:

    4 / (2 + √3) = (4(2 − √3)) / (4 − 3) = 8 − 4√3.

    Тогда (8 − 4√3) + 2√3 = 8 − 2√3 (не целое).

    Поэтому возьмём другое выражение:

    (3 / (√3 − 1)) − √3.

  6. Рационализируем:

    3 / (√3 − 1) = (3(√3 + 1)) / ((√3 − 1)(√3 + 1)) = (3(√3 + 1)) / (3 − 1) = (3√3 + 3)/2.

  7. Вычитаем √3:

    (3√3 + 3)/2 − √3 = (3√3 + 3 − 2√3)/2 = (√3 + 3)/2.

    → не целое, поэтому скорректируем.

  8. Окончательный вариант задачи с целым ответом:
    Найдите значение выражения:

    (6 / (3 − √3)) − √3

    Решение:

    6 / (3 − √3) = (6(3 + √3)) / (9 − 3) = (18 + 6√3)/6 = 3 + √3.

    (3 + √3) − √3 = 3.

Ответ: 3.

Задание 18

В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60° ,  пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АB = 8.

Решение.

Ответ: 48.

➤