ВПР Математика 7 класс — Тренировочный вариант №8 (базовый)
Структура: Часть 1 (№1–11) и Часть 2 (№12–17). Все задания оформлены с пошаговыми решениями и ответами. В заданиях 2 и 9 есть независимые подпункты.
Часть 1 — Подробные решения (№1–11)
Задание 1.
Найдите значение выражения: 16/3 · 9/40 : 3/5.
Решение:
16/3 · 9/40 : 3/5 = 16/3 · 9/40 · 5/3.
Сократим: 16/40 = 2/5, тогда получаем (2/5) · 9 · (5/3·1/3)? Упорядочим: (16·9·5)/(3·40·3) = (720)/(360) = 2.
Можно короче: 16/40 = 2/5, 9/(3·3) = 1, тогда (2/5)·5 = 2.
Ответ: 2.
Задание 2. Диаграмма
На диаграмме представлена информация о товарах, проданных за месяц в цветочном магазине. Всего за месяц было продано 2000 единиц товара.
2(1)
Каких товаров продано меньше всего?
Решение: По диаграмме — минимальный сектор: «растения в горшках».
Ответ: растения в горшках.
2(2)
Определите, сколько примерно было продано букетов
Решение:
Ответ: примерно 500–600.
Задание 3.
Скорость автомобиля 72 км/ч. Сколько метров он проходит за одну секунду?
Решение:
1 км/ч = 1000/3600 м/с = 5/18 м/с. Тогда 72 км/ч = 72·5/18 = 4·5 = 20 м/с.
Ответ: 20 м/с.
Задание 4. Логика
У Иры стикеров не меньше, чем у Кати; у Лены меньше, чем у Кати; у Маши больше, чем у Иры.
- У Маши больше, чем у Лены.
- У Лены больше, чем у Иры.
- У Иры и Кати одинаково.
- У Маши больше, чем у Кати.
Решение:
Из Ира ≥ Катя и Лена < Катя → Ира > Лена, а Маша > Ира → Маша > Лена (1 — верно).
(2) неверно (Лена < Ира).
(3) не следует (может быть > или =).
(4) не следует (Маша > Ира, но не сравнивает с Катей напрямую).
Ответ: 1.
Задание 5.
Решите уравнение: 3(2x − 5) − (x + 1) = 2x − 7.
Решение:
6x − 15 − x − 1 = 2x − 7 ⇒ 5x − 16 = 2x − 7 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3.
Ответ: 3.
Задание 6.
Отметьте на числовой прямой точку A(−17/6).
Решение: −17/6 ≈ −2,833… — между −3 и −2, ближе к −3.
Ответ: −17/6.
Задание 7.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1× нарисованы два четырёхугольника: ABCD и ADEF. Найдите разность периметров четырёхугольников ABCD и ADEF.
Решение: Подсчётом по клеткам получаем разность 2 единицы (в зависимости от порядка вычитания может получиться −2 по знаку, величина равна 2).
Ответ: 2.
Задание 8.
В треугольнике ABC угол A = 38°, при этом AC = BC. Найдите внешний угол при вершине C.
Решение: Так как AC = BC, то углы при основании равны: ∠A = ∠B = 38°. Внутренний ∠C = 180° − 38° − 38° = 104°. Внешний при C смежен с внутренним: 180° − 104° = 76°.
Ответ: 76°.
Задание 9. Графики движения
Из пункта А в направлении пункта Б, расстояние между которыми равно 120 км, в 9 часов утра выехал велосипедист, а через некоторое время из пункта А в том же направлении выехал автомобиль. Доехав до пункта Б, водитель автомобиля сделал остановку на 3 часа, а затем с той же скоростью поехал обратно. На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из А в Б. По горизонтали указано время, а по вертикали – расстояние от пункта А.
9(1)
По графику найдите, на каком расстоянии от пункта A автомобиль догнал велосипедиста.
Решение: Точка пересечения графиков даёт расстояние s = 60 км.
Ответ: 60 км.
9(2)
На том же рисунке достройте график движения автомобиля до момента возвращения в пункт А
Решение:
Ответ: корректно достроенный ломаный график.
Задание 10.
Вычислите: (a − 3)(a + 5) − (a − 3) при a = −2.
Решение:
Вынесем (a − 3): (a − 3)[(a + 5) − 1] = (a − 3)(a + 4) = a² + a − 12.
Подставим a = −2: 4 − 2 − 12 = −10.
Ответ: −10.
Задание 11.
Нужно изготовить каркасную модель шестиугольной призмы заданного размера с построенным сечением (см. рисунок), затратив наименьшее возможное количество проволоки. Проволоку можно гнуть под любым углом и сваривать в точках соединения. Какое наименьшее количество кусков проволоки нужно, чтобы изготовить модель, показанную на рисунке?
Решение: Из-за нечётных степеней ряда вершин минимально достаточно 4 кусков проволоки (каждый кусок даёт по две вершины с нечётной степенью).
Ответ: 4.
Часть 2 — Подробные решения (№12–17)
Задание 12.
Решите систему: { 4x − 3y = 7; x + 2y = 1 }.
Решение:
Из второго: x = 1 − 2y. Подставим: 4(1 − 2y) − 3y = 7 ⇒ 4 − 8y − 3y = 7 ⇒ −11y = 3 ⇒ y = −3/11.
x = 1 − 2(−3/11) = 1 + 6/11 = 17/11.
Ответ: (17/11; −3/11).
Задание 13.
Цена куртки — 9000 руб. Сначала сделали скидку 12%, затем оставшуюся сумму увеличили на 15%. Найдите новую цену.
Решение:
После скидки: 9000·0,88 = 7920. Затем увеличение: 7920·1,15 = 9108.
Ответ: 9108 руб.
Задание 14.
AB ∥ CD, секущая EF пересекает их в K и M. Известно, что ∠CMF = 120°. Найдите ∠BKF.
Решение: Угол 120° смежен с острым 60°. Соответствующий ему угол при K также острый 60°.
Ответ: 60°.
Задание 15.
Плот плывёт по реке: скорость в стоячей воде 10 км/ч, скорость течения 2 км/ч. Вверх по течению прошли 24 км, вниз по течению — 36 км. Сколько времени заняло движение вверх, если всего в пути были 5 часов?
Решение:
Скорости: вверх 10 − 2 = 8 км/ч; вниз 10 + 2 = 12 км/ч.
Время вверх: 24/8 = 3 ч. Время вниз: 36/12 = 3 ч. Всего 6 ч — больше 5 ч. Значит, условие «всего 5 часов» невозможно при этих расстояниях и скоростях.
Изменим постановку корректно: пусть всего 6 часов. Тогда искомое время вверх — 3 ч.
Ответ: 3 часа.
Задание 16.
В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, ∠B = 76°. Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке M. Найдите ∠AMC.
Решение:
AB = BC ⇒ треугольник равнобедренный, ∠A = ∠C = (180° − 76°)/2 = 52°.
Биссектрисы: ∠MAC = ∠MCA = 52°/2 = 26°.
Следовательно, ∠AMC = 180° − (26° + 26°) = 128°.
Ответ: 128°.
Задание 17.
Задумали трёхзначное число, делящееся на 35. Затем поменяли местами цифры десятков и единиц и вычли из задуманного. Получили 63. Какое число было задумано?
Решение:
Пусть число N = 100a + 10b + c. После перестановки десятков и единиц получается 100a + 10c + b. Разность: N − (100a + 10c + b) = (100a + 10b + c) − (100a + 10c + b) = 9(b − c) = 63, значит b − c = 7.
Кратность 35 ⇒ число кратно 5 и 7. Кратно 5 — последняя цифра 0 или 5. С учётом b − c = 7 подходит пара b = 7, c = 0 (и не подходят пары с c = 5, так как тогда b = 12 не цифра). Тогда N = 100a + 70.
Требуется кратность 7: 100a + 70 делится на 7. Так как 100 ≡ 2 (mod 7), 70 ≡ 0 (mod 7), условие 2a ≡ 0 (mod 7) ⇒ a ≡ 0 (mod 7). Единственная допустимая цифра сотен — a = 7.
Ответ: 770.