На этой странице представлены подробные решения заданий демоверсии ВПР 2027 по математике углублённого уровня для 8 класса. В разборе приведены необходимые вычисления и пояснения к заданиям по алгебре, геометрии, вероятности и статистике.
Рекомендуется сначала самостоятельно выполнить проверочную работу, а затем сравнить свои решения с предложенным разбором и проанализировать допущенные ошибки.
Демоверсия ВПР 2027 по математике
Скачать задания и ответы: демоверсия ВПР 2027 по математике, 8 класс, углублённый уровень
Ответы и решения
Проверочная работа состоит из двух частей и включает 17 заданий. На её выполнение отводится два урока продолжительностью не более 45 минут каждый.
В демонстрационном варианте представлено несколько примеров заданий 7 и 11. В реальной проверочной работе на каждой из этих позиций будет предложено только одно задание.
Часть 1. Алгебра
Задание 1. Выражение с квадратными корнями
Ответ: 4.
Решение:
Вычислим выражение:
√32 · √6 / √12.
Объединим корни:
√(32 · 6 / 12) = √16 = 4.
Задание 2. Квадратное уравнение
Ответ: −4 и 9.
Решение:
x2 − 36 = 5x.
Перенесём все слагаемые в левую часть:
x2 − 5x − 36 = 0.
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
(x − 9)(x + 4) = 0.
Отсюда:
x = 9 или x = −4.
Задание 3. Точка на числовой прямой
Ответ: любая точка x, расположенная между 0 и b.
Решение:
Из условия x − a > 0 следует:
x > a.
Из условия x − b < 0:
x < b.
Так как a2 > 0, неравенство a2x > 0 выполняется при:
x > 0.
Следовательно:
0 < x < b.
Задание 4. Формула линейной функции
Ответ: y = 2x − 1.
Решение: По графику видно, что прямая пересекает ось y в точке −1. Значит, свободный член равен −1.
При увеличении x на 1 значение y увеличивается на 2, поэтому угловой коэффициент равен 2.
Формула функции:
y = 2x − 1.
Задание 5. Преобразование рационального выражения
Ответ: 200.
Решение:
Дано выражение:
2x/(x − 4) − (2x2 − 32)/(x2 − 8x + 16).
Разложим выражения на множители:
2x2 − 32 = 2(x2 − 16) = 2(x − 4)(x + 4);
x2 − 8x + 16 = (x − 4)2.
Тогда:
2x/(x − 4) − 2(x − 4)(x + 4)/(x − 4)2 =
2x/(x − 4) − 2(x + 4)/(x − 4).
Объединим дроби:
(2x − 2x − 8)/(x − 4) = −8/(x − 4).
Подставим x = 3,96:
−8/(3,96 − 4) = −8/(−0,04) = 200.
Задание 6. Решение неравенства
Ответ: x < 33/38.
Решение:
(2x − 3)/5 − (4x − 7)/15 > (8x − 7)/3.
Перенесём правую часть влево и приведём дроби к общему знаменателю 15:
[3(2x − 3) − (4x − 7) − 5(8x − 7)]/15 > 0.
Раскроем скобки:
6x − 9 − 4x + 7 − 40x + 35 > 0.
−38x + 33 > 0.
−38x > −33.
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
x < 33/38.
Задание 7
Первый пример. Уравнение четвёртой степени
Ответ: 3 − √5; 3 + √5.
Решение:
(x − 3)4 − 4(x − 3)2 − 5 = 0.
Введём замену:
t = (x − 3)2.
Получаем:
t2 − 4t − 5 = 0.
Разложим на множители:
(t − 5)(t + 1) = 0.
t = 5 или t = −1.
Так как квадрат числа не может быть отрицательным, значение t = −1 не подходит.
(x − 3)2 = 5.
x − 3 = ±√5.
x = 3 − √5 или x = 3 + √5.
Второй пример. Теорема Виета
Ответ: 1 − 5√2/2.
Решение:
Дано квадратное уравнение:
2x2 + 3√2 · x + c = 0.
Один из его корней:
x1 = √2 − 1.
По теореме Виета сумма корней равна:
x1 + x2 = −3√2/2.
Следовательно:
x2 = −3√2/2 − (√2 − 1).
x2 = 1 − 5√2/2.
Задание 8. Движение плота и моторной лодки
Ответ: 30 км/ч.
Решение: Плот движется со скоростью течения — 3 км/ч.
До встречи плот проплыл 2 км, поэтому с момента начала движения прошло:
2 : 3 = 2/3 часа.
За это время лодка прошла 11 км по течению от А до Б и 9 км против течения от Б до места встречи.
Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.
Скорость лодки по течению:
x + 3.
Скорость против течения:
x − 3.
Составим уравнение:
11/(x + 3) + 9/(x − 3) = 2/3.
Умножим уравнение на 3(x + 3)(x − 3):
33(x − 3) + 27(x + 3) = 2(x2 − 9).
60x − 18 = 2x2 − 18.
2x2 − 60x = 0.
2x(x − 30) = 0.
Корень x = 0 не подходит по смыслу задачи.
x = 30 км/ч.
Часть 2. Геометрия, вероятность и статистика
Задание 9. Истинное утверждение
Ответ: 3.
Пояснение:
Утверждение 1 неверно. В любом параллелограмме противоположные стороны равны, но из равенства двух сторон не следует, что все четыре стороны равны.
Утверждение 2 неверно. Равные и перпендикулярные диагонали не являются достаточным условием того, что произвольный четырёхугольник — квадрат.
Утверждение 3 верно. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
Утверждение 4 неверно. Углы трапеции при меньшем основании не обязательно оба тупые.
Задание 10. Угол ромба
Ответ: 126°.
Решение: Угол LTH равен 153°. Смежный с ним острый угол между диагональю LT и перпендикуляром TH равен:
180° − 153° = 27°.
Поскольку TH перпендикулярен стороне KN, угол между диагональю LN и стороной KN равен:
90° − 27° = 63°.
Диагональ ромба LN делит угол N пополам. Следовательно, угол N равен:
63° · 2 = 126°.
Это тупой угол ромба.
Задание 11
Первый пример. Площадь прямоугольного треугольника
Ответ: 240.
Решение: Один катет равен 16, гипотенуза — 34.
Найдём второй катет по теореме Пифагора:
b2 = 342 − 162.
b2 = 1156 − 256 = 900.
b = 30.
Площадь треугольника:
S = 16 · 30 : 2 = 240.
Второй пример. Площадь равнобедренной трапеции
Ответ: 600.
Решение: Основания трапеции равны 15 и 35, боковая сторона — 26.
Разность оснований:
35 − 15 = 20.
В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками:
20 : 2 = 10.
Найдём высоту:
h2 + 102 = 262.
h2 = 676 − 100 = 576.
h = 24.
Площадь трапеции:
S = (15 + 35) · 24 : 2 = 600.
Задание 12. Биссектрисы в равнобедренном треугольнике
Ответ: 1,2.
Решение: В равнобедренном треугольнике:
AB = BC = 3, AC = 2.
По теореме о биссектрисе для биссектрисы CM:
AM/MB = AC/CB = 2/3.
Так как AB = 3, получаем:
AM = 3 · 2/(2 + 3) = 6/5.
MB = 9/5.
Аналогично для биссектрисы AL:
BL = 9/5, LC = 6/5.
Треугольники BML и BAC подобны. Коэффициент подобия:
BM/BA = (9/5) : 3 = 3/5.
Следовательно:
LM/AC = 3/5.
LM = 2 · 3/5 = 6/5 = 1,2.
Задание 13. Площадь прямоугольной трапеции
Ответ: 820.
Решение: Высота прямоугольной трапеции равна боковой стороне AB:
h = 40.
Проведём из вершины C перпендикуляр CF к большему основанию AD.
В прямоугольном треугольнике CFD:
CD = 41, CF = 40.
Найдём FD:
FD = √(412 − 402) = √81 = 9.
Продлим основание BC до точки E. Биссектриса угла ADC пересекает продолжение BC в точке E.
Треугольник ECD равнобедренный, поэтому:
EC = CD = 41.
Из равенства соответствующих треугольников следует:
AD = BE.
Поскольку:
BE = BC + EC = BC + 41
и
AD = BC + FD = BC + 9,
с учётом положения середины стороны AB получаем основания:
BC = 16, AD = 25.
Площадь трапеции:
S = (AD + BC) · h : 2.
S = (25 + 16) · 40 : 2 = 820.
Задание 14. Сравнение вероятностей событий
Ответ: BACD.
Решение:
Запишем интервалы, соответствующие событиям:
- B: от 2,9 до 3,1 кг;
- A: от 2,9 до 3,2 кг;
- C: от 2,8 до 3,2 кг;
- D: от 2,5 до 3,5 кг.
Каждый следующий интервал содержит предыдущий:
B ⊂ A ⊂ C ⊂ D.
Следовательно, вероятности возрастают в порядке:
B, A, C, D.
Задание 15. Количество вершин графа
Ответ: 8.
Решение: Пусть вершин степени 2 имеется x. По условию вершин степени 5 столько же, то есть тоже x.
Сумма степеней всех вершин:
2x + 5x = 7x.
В графе 14 рёбер. По теореме о сумме степеней:
7x = 2 · 14.
7x = 28.
x = 4.
Всего вершин:
4 + 4 = 8.
Задание 16. Рассадка за круглым столом
Ответ: 1/3.
Решение: Зафиксируем место Паши. Рядом с ним должны оказаться либо две Маши, либо два Саши.
Из четырёх гостей выбрать двух соседей Паши можно:
C42 = 6 способами.
Благоприятных пар две:
- две Маши;
- два Саши.
Вероятность:
2/6 = 1/3.
Задание 17. Два броска игрального кубика
Ответ: 5/18.
Решение: Всего при двух бросках кубика возможно:
6 · 6 = 36 равновозможных исходов.
Сумма не меньше 9 получается при следующих результатах:
- сумма 9 — 4 исхода;
- сумма 10 — 3 исхода;
- сумма 11 — 2 исхода;
- сумма 12 — 1 исход.
Всего благоприятных исходов:
4 + 3 + 2 + 1 = 10.
Вероятность:
10/36 = 5/18.
Краткие результаты
| Задание | Результат |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | −4 и 9 |
| 3 | Любая точка между 0 и b |
| 4 | y = 2x − 1 |
| 5 | 200 |
| 6 | x < 33/38 |
| 7 | 3 − √5; 3 + √5 или 1 − 5√2/2 |
| 8 | 30 км/ч |
| 9 | 3 |
| 10 | 126° |
| 11 | 240 или 600 |
| 12 | 1,2 |
| 13 | 820 |
| 14 | BACD |
| 15 | 8 |
| 16 | 1/3 |
| 17 | 5/18 |
Система оценивания
Максимальный первичный балл за выполнение всей работы — 23.
Алгебра
Максимальный балл — 11.
| Первичные баллы | Отметка |
|---|---|
| 0–2 | «2» |
| 3–5 | «3» |
| 6–9 | «4» |
| 10–11 | «5» |
Геометрия
Максимальный балл — 7.
| Первичные баллы | Отметка |
|---|---|
| 0–1 | «2» |
| 2–3 | «3» |
| 4–5 | «4» |
| 6–7 | «5» |
Вероятность и статистика
Максимальный балл — 5.
| Первичные баллы | Отметка |
|---|---|
| 0 | «2» |
| 1 | «3» |
| 2–3 | «4» |
| 4–5 | «5» |