На этой странице представлены подробные решения заданий демоверсии ВПР 2027 по математике базового уровня для 8 класса. В материале разобраны задания по алгебре, геометрии, вероятности и статистике.
Рекомендуется сначала самостоятельно выполнить проверочную работу, а затем сравнить свой ход решения с приведёнными вычислениями и пояснениями.
Демоверсия ВПР 2027 по математике
Скачать задания и ответы: демоверсия ВПР 2027 по математике, 8 класс, базовый уровень
Ответы и решения
Проверочная работа состоит из двух частей и включает 17 заданий. На выполнение работы отводится два урока продолжительностью не более 45 минут каждый.
В демонстрационном варианте приведено по несколько примеров заданий 1 и 11. В реальной проверочной работе на каждой из этих позиций будет предложено только одно задание.
Часть 1. Алгебра
Задание 1
Первый пример
Ответ: 28.
Решение:
Найдём значение выражения:
3 : (6/7 − 3/4).
Приведём дроби в скобках к общему знаменателю 28:
6/7 = 24/28;
3/4 = 21/28.
Вычислим разность:
24/28 − 21/28 = 3/28.
Теперь разделим 3 на полученную дробь:
3 : 3/28 = 3 · 28/3 = 28.
Второй пример
Ответ: 18,2.
Решение:
4,5 · 5,4 − 6,1.
Сначала выполним умножение:
4,5 · 5,4 = 24,3.
Затем вычитание:
24,3 − 6,1 = 18,2.
Задание 2. Уравнение, представленное произведением
Ответ: 0,4; 3.
Решение:
(5x − 2)(3 − x) = 0.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Первый случай:
5x − 2 = 0;
5x = 2;
x = 0,4.
Второй случай:
3 − x = 0;
x = 3.
Задание 3. Два числа
Ответ: −12 и 10 или −10 и 12.
Решение: Пусть меньшее число равно x, тогда большее равно x + 22.
По условию их произведение равно −120:
x(x + 22) = −120.
x2 + 22x + 120 = 0.
Разложим левую часть на множители:
(x + 10)(x + 12) = 0.
Отсюда:
x = −10 или x = −12.
Если меньшее число равно −12, большее равно:
−12 + 22 = 10.
Если меньшее число равно −10, большее равно:
−10 + 22 = 12.
Задание 4. Точка на числовой прямой
Ответ: точка x должна находиться между точками 0 и b.
Решение:
Рассмотрим условия:
x − a > 0, значит, x > a;
x − b < 0, значит, x < b;
a2x > 0.
Так как a не равно нулю, значение a2 положительно. Следовательно, для выполнения третьего условия необходимо:
x > 0.
Объединяя условия, получаем:
0 < x < b.
На числовой прямой можно отметить любую точку между 0 и b.
Задание 5. Соответствие между графиками и формулами
Ответ: 2341.
Решение:
График А — убывающая прямая, которая пересекает ось ординат ниже нуля. Ей соответствует формула:
y = −3x − 2 — номер 2.
График Б — гипербола, ветви которой находятся в первой и третьей координатных четвертях:
y = 3/x — номер 3.
График В — гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях:
y = −1/(2x) — номер 4.
График Г — возрастающая прямая:
y = 2x − 1 — номер 1.
Получаем последовательность: 2341.
Задание 6. Выражение с квадратными корнями
Ответ: 3.
Решение:
√15 · √12 / √20.
Объединим корни:
√(15 · 12) / √20 = √180 / √20.
Используем свойство частного корней:
√(180/20) = √9 = 3.
Задание 7. Алгебраическая дробь
Ответ: −2,6.
Решение:
Дано выражение:
((xy + y2) / 8x) · (4x / (x + y)).
Вынесем y в числителе первой дроби:
xy + y2 = y(x + y).
Получаем:
(y(x + y) / 8x) · (4x / (x + y)).
Сократим x + y и x:
y · 4 / 8 = y/2.
Подставим y = −5,2:
−5,2 : 2 = −2,6.
Значение x = √3 на конечный результат не влияет.
Задание 8. Решение неравенства
Ответ: x < −13,6.
Решение:
8x + 50 < 18x − 3(5x + 6).
Раскроем скобки в правой части:
8x + 50 < 18x − 15x − 18.
8x + 50 < 3x − 18.
Перенесём неизвестные в левую часть, числа — в правую:
8x − 3x < −18 − 50.
5x < −68.
x < −68/5.
x < −13,6.
Задание 9. Движение по реке
Ответ: 14 км/ч.
Решение: Скорость течения реки и плота равна 4 км/ч.
К моменту возвращения лодки плот проплыл 32 км. Значит, с момента отправления плота прошло:
32 : 4 = 8 часов.
Лодка отправилась через час после плота, поэтому её движение туда и обратно продолжалось:
8 − 1 = 7 часов.
Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.
Скорость лодки по течению:
x + 4.
Скорость против течения:
x − 4.
Составим уравнение:
45/(x + 4) + 45/(x − 4) = 7.
Приведём левую часть к общему знаменателю:
45(x − 4) + 45(x + 4) = 7(x2 − 16).
90x = 7x2 − 112.
7x2 − 90x − 112 = 0.
Положительный корень уравнения равен 14.
Часть 2. Геометрия, вероятность и статистика
Задание 10. Угол параллелограмма
Ответ: 110°.
Решение: Соседние углы параллелограмма в сумме составляют 180°.
Если один угол равен 70°, то соседний тупой угол равен:
180° − 70° = 110°.
Задание 11
Первый пример. Расстояние между точками
Ответ: √10.
Решение: По рисунку видно, что для перехода от точки A к точке B нужно переместиться на три клетки вправо и на одну клетку вверх.
Расстояние между точками является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 3 и 1:
AB = √(32 + 12) = √10.
Второй пример. Площадь треугольника
Ответ: 300.
Решение: Треугольник ABC равнобедренный:
AB = BC = 25.
Основание:
AC = 40.
Высота, проведённая к основанию, делит его пополам:
40 : 2 = 20.
По теореме Пифагора найдём высоту:
h2 + 202 = 252.
h2 = 625 − 400 = 225.
h = 15.
Площадь:
S = 40 · 15 : 2 = 300.
Задание 12. Верное утверждение
Ответ: 3.
Пояснение:
Утверждение 1 неверно. В любом параллелограмме противоположные стороны равны, но из этого не следует, что все четыре стороны равны.
Утверждение 2 неверно. Равные и перпендикулярные диагонали могут быть у четырёхугольника, который не является квадратом.
Утверждение 3 верно. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
Утверждение 4 неверно. Углы при меньшем основании трапеции не обязательно оба тупые.
Задание 13. Высота и биссектриса прямоугольного треугольника
Ответ: 20°.
Решение: Поскольку AB — гипотенуза, угол C является прямым:
∠ACB = 90°.
Биссектриса CL делит прямой угол пополам:
∠LCB = 90° : 2 = 45°.
Треугольники CDB и ACB подобны: оба прямоугольные и имеют общий угол при вершине B.
Поэтому:
∠DCB = ∠CAB = 25°.
Тогда:
∠DCL = ∠LCB − ∠DCB.
∠DCL = 45° − 25° = 20°.
Задание 14. Порядок выступления групп
Ответ: 1/6.
Решение: Рассмотрим только взаимный порядок трёх групп:
- Астрахань;
- Брянск;
- Волгоград.
Эти три группы могут расположиться в шести равновозможных порядках:
3! = 6.
Условию соответствует только один порядок:
Волгоград — Астрахань — Брянск.
Вероятность:
1/6.
Задание 15. Обход графа
Ответ: A.
Решение: Чтобы обвести граф, не отрывая карандаша и не проходя по одному ребру дважды, нужно построить эйлеров путь.
Такой путь начинается и заканчивается в вершинах нечётной степени.
В данном графе нечётную степень имеют две вершины:
- вершина A;
- вершина E.
Поскольку обход закончился в вершине E, начаться он должен был в вершине A.
Задание 16. Диаграмма количества осадков
Пункт 1
Ответ: 2014 и 2019 годы.
Решение: На диаграмме столбцы, соответствующие 2014 и 2019 годам, находятся ниже отметки 600 мм.
Пункт 2
Ответ: примерно 160 мм.
Решение: В 2021 году выпало приблизительно 810 мм осадков, а в 2022 году — около 650 мм.
Разность:
810 − 650 = 160 мм.
По критериям оценивания принимается любое значение от 140 до 180 мм.
Задание 17. Броски игрального кубика
Ответ: 5/18.
Решение: При двух бросках кубика существует:
6 · 6 = 36
равновозможных исходов.
Сумма не меньше 9 получается при следующих результатах:
- сумма 9: 4 исхода — (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3);
- сумма 10: 3 исхода — (4; 6), (5; 5), (6; 4);
- сумма 11: 2 исхода — (5; 6), (6; 5);
- сумма 12: 1 исход — (6; 6).
Количество благоприятных исходов:
4 + 3 + 2 + 1 = 10.
Вероятность:
10/36 = 5/18.
Краткие результаты
| Задание | Результат |
|---|---|
| 1 | 28 или 18,2 |
| 2 | 0,4; 3 |
| 3 | −12 и 10 или −10 и 12 |
| 4 | Любая точка между 0 и b |
| 5 | 2341 |
| 6 | 3 |
| 7 | −2,6 |
| 8 | x < −13,6 |
| 9 | 14 км/ч |
| 10 | 110° |
| 11 | √10 или 300 |
| 12 | 3 |
| 13 | 20° |
| 14 | 1/6 |
| 15 | A |
| 16.1 | 2014, 2019 |
| 16.2 | Примерно 160 мм |
| 17 | 5/18 |
Система оценивания
Максимальный первичный балл за выполнение всей работы — 22.
Алгебра
Максимальный балл — 11.
| Первичные баллы | Отметка |
|---|---|
| 0–2 | «2» |
| 3–5 | «3» |
| 6–8 | «4» |
| 9–11 | «5» |
Геометрия
Максимальный балл — 5.
| Первичные баллы | Отметка |
|---|---|
| 0 | «2» |
| 1 | «3» |
| 2–3 | «4» |
| 4–5 | «5» |
Вероятность и статистика
Максимальный балл — 6.
| Первичные баллы | Отметка |
|---|---|
| 0–1 | «2» |
| 2–3 | «3» |
| 4 | «4» |
| 5–6 | «5» |