На этой странице представлены подробные решения заданий демоверсии ВПР 2027 по математике для 10 класса. В разборе приведены необходимые вычисления и пояснения к заданиям по алгебре, геометрии, теории вероятностей и статистике.
Рекомендуется сначала самостоятельно выполнить проверочную работу, а затем сравнить свои решения с предложенным разбором и проанализировать допущенные ошибки.
Демоверсия ВПР 2027 по математике
Скачать задания и ответы: демоверсия ВПР 2027 по математике, 10 класс
Ответы и решения
Проверочная работа состоит из двух частей и включает 17 заданий. На её выполнение отводится два урока продолжительностью не более 45 минут каждый.
В демонстрационном варианте представлено по несколько примеров заданий 2, 11, 12 и 13. В настоящей проверочной работе на каждой из этих позиций будет предложено только одно задание.
Часть 1. Алгебра
Задание 1. Задача на проценты
Ответ: 28 %.
Решение: Футболом интересуются 40 % населения города. Финальный матч посмотрели 70 % от этого количества.
40 · 0,7 = 28.
Следовательно, финальный матч смотрели 28 % всех горожан.
Задание 2
Первый пример. Выражение со степенями
Ответ: 3.
Решение:
Вычислим выражение:
a−2 / (⁴√a7 · a−4).
Представим корень в виде степени:
⁴√a7 = a7/4.
В знаменателе:
a7/4 · a−4 = a−9/4.
Тогда:
a−2 : a−9/4 = a1/4.
При a = 81:
811/4 = 3.
Второй пример
Ответ: 4.
Решение:
a−8/3 · a5 / a2 = a−8/3 + 5 − 2.
−8/3 + 3 = 1/3.
Получаем:
a1/3.
При a = 64:
641/3 = 4.
Задание 3. Тригонометрическое выражение
Ответ: 1.
Решение:
cos(−60°) = cos 60° = 1/2.
945° = 720° + 225°, поэтому:
sin 945° = sin 225° = −√2/2.
sin²945° = 1/2.
1/2 + 1/2 = 1.
Задание 4. Сумма геометрической прогрессии
Ответ: 32.
Решение: Первый член прогрессии равен 16, знаменатель:
q = 8 : 16 = 1/2.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S = b1 / (1 − q).
S = 16 / (1 − 1/2) = 16 : 1/2 = 32.
Задание 5. Точка пересечения графиков
Ответ: −16.
Решение: По графику абсцисса точки B равна −7.
Точка B лежит на прямой:
f(x) = 3x + 5.
Подставим x = −7:
f(−7) = 3 · (−7) + 5 = −21 + 5 = −16.
Ордината точки B равна −16.
Задание 6. Тангенс угла
Ответ: −0,75.
Решение: Из основного тригонометрического тождества:
sin²α + cos²α = 1.
sin²α = 1 − (−0,8)² = 1 − 0,64 = 0,36.
Угол α находится во второй четверти, поэтому синус положительный:
sin α = 0,6.
tg α = sin α / cos α.
tg α = 0,6 / (−0,8) = −0,75.
Задание 7. Тригонометрическое уравнение
Ответ:
1) x = π/2 + πn или x = 2πn, где n ∈ Z;
2) −2π; −3π/2; −π/2.
Решение:
Дано уравнение:
cos²x = cos x.
Перенесём всё в левую часть:
cos²x − cos x = 0.
Вынесем cos x за скобки:
cos x(cos x − 1) = 0.
Получаем два случая:
cos x = 0 или cos x = 1.
Общее решение:
x = π/2 + πn или x = 2πn, где n ∈ Z.
Из промежутка [−2π; −π/2] выбираем:
−2π; −3π/2; −π/2.
Задание 8. Рациональное неравенство
Ответ: (−∞; −1/3] ∪ (−1/5; 1].
Решение:
(3x² − 2x − 1) / (5x + 1) ≤ 0.
Разложим числитель на множители:
3x² − 2x − 1 = (3x + 1)(x − 1).
Критические точки:
- x = −1/3 — ноль числителя;
- x = −1/5 — ноль знаменателя;
- x = 1 — ноль числителя.
Точку −1/5 включать в ответ нельзя.
По методу интервалов выражение неположительно при:
x ≤ −1/3
или
−1/5 < x ≤ 1.
Задание 9. График функции с модулями
Ответ: c = 5.
Решение: Дана функция:
f(x) = ||x| − 3| + 2.
График симметричен относительно оси Oy. Его минимальные значения достигаются при x = −3 и x = 3:
f(−3) = f(3) = 2.
При x = 0:
f(0) = 5.
Горизонтальная прямая y = c пересекает график ровно в трёх точках только при прохождении через центральную вершину графика.
Следовательно:
c = 5.
Часть 2. Геометрия, вероятность и статистика
Задание 10. Равнобедренный треугольник
Ответ: 69°.
Решение: Внешний угол при вершине B равен 138°.
Внутренний угол B:
180° − 138° = 42°.
Так как AB = BC, треугольник равнобедренный с основанием AC. Поэтому углы A и C равны.
∠C = (180° − 42°) : 2 = 69°.
Задание 11
Первый пример. Прямоугольный треугольник
Ответ: √19.
Решение: Пусть CE = x. Тогда:
CB = x + 3.
В прямоугольном треугольнике ACE:
AC = √3.
Угол AEB, равный 120°, является смежным с углом AEC:
∠AEC = 60°.
Тогда:
tg 60° = AC / CE.
√3 = √3 / x.
x = 1.
Следовательно:
CB = 1 + 3 = 4.
По теореме Пифагора:
AB = √(AC² + CB²) = √(3 + 16) = √19.
Второй пример. Площадь ромба
Ответ: 80.
Решение: Радиус вписанной окружности:
OE = 4.
По условию:
DE = 2.
Треугольник OED прямоугольный:
OD = √(OE² + DE²) = √(16 + 4) = 2√5.
Обозначим вторую половину диагонали ромба через AO = x.
Площадь ромба через диагонали:
S = 2 · AO · OD.
Также площадь ромба равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр:
S = 4 · 2a = 8a,
где сторона ромба:
a = √(x² + 20).
Получаем:
4√5x = 8√(x² + 20).
После возведения в квадрат:
80x² = 64x² + 1280.
x² = 80.
x = 4√5.
Площадь:
S = 2 · 4√5 · 2√5 = 80.
Задание 12. Перпендикулярные прямые
Первый пример
Ответ: 14.
Решение:
Пара 1 верна. Прямая AB перпендикулярна AD и SD. Следовательно, AB перпендикулярна плоскости SAD и прямой SA.
Пара 4 верна. Прямая SD перпендикулярна плоскости основания, поэтому она перпендикулярна прямой CB.
Правильные номера: 1 и 4.
Второй пример
Ответ: 1345.
Пояснение:
- SM перпендикулярна AB;
- SA перпендикулярна DB;
- AB перпендикулярна SO;
- AB перпендикулярна CB.
Следовательно, выбираем пары 1, 3, 4 и 5.
Задание 13
Первый пример. Угол между прямыми в параллелепипеде
Ответ: 4√2/13.
Решение: Прямая AC параллельна диагонали A1C1. Поэтому угол между A1D и AC равен углу DA1C1.
В треугольнике DA1C1:
DA1 = DC1 = √(8² + 105) = √169 = 13.
A1C1 — диагональ квадрата со стороной 8:
A1C1 = 8√2.
Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам. Поэтому:
cos ∠DA1C1 = (A1C1/2) / DA1.
cos ∠DA1C1 = 4√2/13.
Второй пример. Расстояние до плоскости
Ответ: 6.
Решение: Искомое расстояние равно длине перпендикуляра SO.
В равностороннем треугольнике со стороной 6 радиус описанной окружности:
AO = 6√3/3 = 2√3.
В прямоугольном треугольнике SAO:
SA = 4√3.
По теореме Пифагора:
SO = √(SA² − AO²).
SO = √(48 − 12) = √36 = 6.
Задание 14. Вероятность выбора маркера
Ответ: 0,25.
Решение: Всего в коробке:
15 + 5 = 20 маркеров.
Красных маркеров — 5.
Вероятность:
5/20 = 1/4 = 0,25.
Задание 15. Два кружка
Ответ: 3.
Решение: Используем формулу количества элементов объединения множеств:
25 = 10 + 18 − x,
где x — количество учащихся, посещающих оба кружка.
x = 10 + 18 − 25 = 3.
Задание 16. Условная вероятность
Ответ: 0,2.
Решение: Рассматриваем только исходы, в которых результат первого броска больше результата второго.
Таких исходов:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
Сумма равна 7 и первый результат больше второго в трёх случаях:
- (6; 1);
- (5; 2);
- (4; 3).
Искомая вероятность:
3/15 = 1/5 = 0,2.
Задание 17. Два броска баскетболиста
Ответ: 0,36.
Решение: Ровно одно попадание возможно в двух случаях.
Первый случай
Первый бросок успешный, второй — неудачный.
Вероятность попадания при первом броске равна 0,4. После попадания вероятность промаха при втором броске:
1 − 0,7 = 0,3.
Вероятность первого случая:
0,4 · 0,3 = 0,12.
Второй случай
Первый бросок неудачный, второй — успешный.
Вероятность промаха при первом броске:
1 − 0,4 = 0,6.
После промаха вероятность попадания остаётся равной 0,4.
Вероятность второго случая:
0,6 · 0,4 = 0,24.
Общая вероятность:
0,12 + 0,24 = 0,36.
Краткие результаты
| Задание | Результат |
|---|---|
| 1 | 28 |
| 2 | 3 или 4 |
| 3 | 1 |
| 4 | 32 |
| 5 | −16 |
| 6 | −0,75 |
| 7 | −2π; −3π/2; −π/2 |
| 8 | (−∞; −1/3] ∪ (−1/5; 1] |
| 9 | c = 5 |
| 10 | 69° |
| 11 | √19 или 80 |
| 12 | 14 или 1345 |
| 13 | 4√2/13 или 6 |
| 14 | 0,25 |
| 15 | 3 |
| 16 | 0,2 |
| 17 | 0,36 |
Система оценивания
Максимальный первичный балл за выполнение всей работы — 22.
Алгебра
Максимальный балл — 12.
| Баллы | Отметка |
|---|---|
| 0–2 | «2» |
| 3–5 | «3» |
| 6–9 | «4» |
| 10–12 | «5» |
Геометрия
Максимальный балл — 5.
| Баллы | Отметка |
|---|---|
| 0 | «2» |
| 1 | «3» |
| 2–3 | «4» |
| 4–5 | «5» |
Вероятность и статистика
Максимальный балл — 5.
| Баллы | Отметка |
|---|---|
| 0 | «2» |
| 1 | «3» |
| 2–3 | «4» |
| 4–5 | «5» |