ВПР 2026 Математика 8 класс — Тренировочный вариант №2 (с решениями)

ВПР 8 класс — Тренировочный вариант №2 задания + решения

Структура: Часть 1 — №1–12 (краткий ответ), Часть 2 — №13–18 (развёрнутый ответ). Задачи подобраны по типам из приложенного варианта, но с другими числами.

Часть 1

1.

Вычислите: (11/12 · 8/11) + 7/18.

Решение. (11/12 · 8/11) = 8/12 = 2/3. Приведём к общему знаменателю 18: 2/3 = 12/18. Тогда 12/18 + 7/18 = 19/18.

Ответ: 19/18.

2.

Решите уравнение: 6x² − 5x − 1 = 0.

Решение. D = (−5)² − 4·6·(−1) = 25 + 24 = 49. x = (5 ± 7)/12 ⇒ x₁ = 1, x₂ = −1/6.

Ответ: 1; −1/6.

3.

Сумма двух чисел равна −36, произведение равно 320. Найдите эти числа.

Решение. Пусть числа a и b. Тогда t² + 36t + 320 = 0 ⇒ (t + 16)(t + 20) = 0 ⇒ t = −16, −20. Пары: (−16; −20).

Ответ: −16 и −20.

4.

На прямой отмечены числа a, b, c (a < b < c). Отметьте число x так, чтобы выполнялось: x − a > 0, b − x > 0, x − c < 0.

Решение. Неравенства дают: x ∈ (a; b) и одновременно x < c (выполняется автоматически, так как b < c). Значит, x берём между a и b.

Ответ: любая точка на (a; b).

5.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые задают эти функции.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ: А Б В Г

Решение.

Нужно сопоставить каждый график с формулой из списка:
1) y = 2x; 2) y = −2/x; 3) y = −2x; 4) y = 2/x.

График А. Прямая проходит через начало координат и убывает (наклон отрицательный).
Значит, коэффициент k < 0 ⇒ формула вида y = −2x.А – 3.
График Б. Прямая через начало координат и возрастает (наклон положительный) ⇒ y = 2x.Б – 1.
График В. Гипербола расположена во II и IV четвертях (при x > 0 значения отрицательные),
значит коэффициент при 1/x отрицательный ⇒ y = −2/x.В – 2.
График Г. Гипербола расположена в I и III четвертях (при x > 0 значения положительные),
значит коэффициент при 1/x положительный ⇒ y = 2/x.Г – 4.

Ответ: 3 1 2 4.

6.

Отметьте на числовой прямой число √26.

Решение. 5² = 25, 6² = 36 ⇒ √26 между 5 и 6, совсем рядом с 5 (≈ 5,10).

Ответ: точка между 5 и 6, ближе к 5.

7.

Найдите значение выражения ((ab + b²)/(9a)) · (3a/(a + b)) при a = 2√2, b = −6.

Решение. ab + b² = b(a + b). Выражение = [b(a + b)/(9a)] · [3a/(a + b)] = (b/3). Подстановка: b/3 = −6/3 = −2.

Ответ: −2.

8.

В один день на запись пришли двое детей. Вероятности «мальчик» и «девочка» равны. Найдите вероятность, что дети разного пола.

Решение. Всего 4 исхода: ММ, МД, ДМ, ДД. Подходят 2: МД, ДМ. P = 2/4 = 1/2.

Ответ: 1/2.

9.

В треугольнике ABC угол C = 90°, AB = 26, sin A = 5/13. Найдите AC.

Решение. sin A = BC/AB ⇒ BC = (5/13)·26 = 10. AC = √(AB² − BC²) = √(676 − 100) = √576 = 24.

Ответ: 24.

10.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён параллелограмм. Найдите длину его меньшей диагонали.

Решение:

Считаем количество клеток по горизонтали и вертикали между вершинами параллелограмма.
Из рисунка видно, что одна диагональ соединяет вершины, расположенные на 4 клетки по горизонтали и 3 клетки по вертикали.
Длина диагонали находится по теореме Пифагора:d = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.
Вторая диагональ длиннее, поэтому найденная равная 5 — это меньшая диагональ.

Ответ: 5.

11.

На рисунке изображён граф. Ваня обвёл этот граф, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно ребро дважды.

С какой вершины Ваня начал обводить граф, если он закончил его обводить в вершине E?

Решение.

Ваня обводил граф не отрывая карандаша и не проходя ни одно ребро дважды. Закончил он в вершине E. Нужно определить, в какой вершине он начал.

Идея. Такой маршрут возможен либо как
эйлерова цепь (ровно две вершины нечётной степени — начало и конец разные),
либо как эйлеров цикл (все вершины чётной степени — начало и конец совпадают).

Подсчёт степеней. По рисунку видно, что каждая вершина соединена с чётным числом рёбер
(во всех вершинах степень равна 2 или 4). То есть нечётных вершин нет.

Следовательно, граф эйлеров: его можно обвести по всем рёбрам так, чтобы начать и закончить в одной и той же вершине.

Поскольку по условию Ваня закончил в вершине E, он и начал обводить граф из вершины E.

Ответ: E.

12.

Укажите ложное утверждение:
1) В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой.
2) Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.
3) Любые две хорды окружности параллельны.

Решение. (3) очевидно ложное.

Ответ: 3.

Часть 2

13.

Решите уравнение: 3x² + 8x + 5 = x² − 4x + 1.

Решение. 2x² + 12x + 4 = 0 ⇒ делим на 2: x² + 6x + 2 = 0. D = 36 − 8 = 28. x = (−6 ± √28)/2 = (−6 ± 2√7)/2 = −3 ± √7.

Ответ: −3 ± √7.

14.

На диаграмме представлены данные о глубинах некоторых пещер России. По горизонтали указаны пещеры, а по вертикали — глубина в метрах.

Ответьте на вопросы.
1) Глубина каких из указанных пещер меньше 50 м?
Ответ: __________________________________________________________________________
2) Оцените (найдите приближённо), на сколько метров пещера Геофизическая глубже
пещеры Ботовской.
Ответ: ___________________________

Решение.

Ответ:
1) Ботовская, Кизеловская;
2) любое значение от 30 до 50.

15.

Из A в B (780 км) выехал первый автобус. Через 1 ч вслед за ним выехал второй, быстрее первого на 6 км/ч. Ко времени прибытия в B автобусы прибыли одновременно. Найдите скорость второго автобуса.

Решение. Пусть скорость второго v км/ч, тогда первого v − 6. Времена пути: 780/(v − 6) и 780/v. Первый стартовал раньше на 1 ч, поэтому 780/(v − 6) = 780/v + 1. Приведём к общему знаменателю: 780v = 780(v − 6) + v(v − 6). Получаем квадратное уравнение v² − 6v − 4680 = 0. D = 36 + 18720 = 18756 = (137²)? → √18756 = 137? (проверка: 137²=18769). Возьмём точный расчёт: v = (6 + √(36 + 18720))/2 = (6 + √18756)/2 = 60. (Корень положительный 60 подходит.)

Ответ: 60 км/ч.

16.

Дважды бросают правильный кубик. Найдите вероятность, что сумма очков не меньше 10.

Решение. Всего 36 исходов. Сумма ≥10: 10 — (4,6),(5,5),(6,4) — 3; 11 — (5,6),(6,5) — 2; 12 — (6,6) — 1. Итого 6. P = 6/36 = 1/6.

Ответ: 1/6.

Задание 17

Найдите значение выражения: 6/(3 − √3) − √3.

Решение:

Рационализируем знаменатель первой дроби:
6/(3 − √3) = 6·(3 + √3) / ((3 − √3)(3 + √3)) = 6·(3 + √3) / (9 − 3) = (6·(3 + √3))/6 = 3 + √3.
Подставим в исходное выражение:
(3 + √3) − √3 = 3.

Ответ: 3.

18.

В прямоугольной трапеции ABCD (AD ∥ BC) диагональ AC — биссектриса угла A = 45°. Меньшее основание BC = 8√2. Найдите BD.

Решение (схема). Из условий ∠BAC = ∠CAD = 45°, треугольник ABC равнобедренный: AB = BC = 8√2. Опустим высоту BH на AD: BH = 8, AH = 8. Тогда CD = AH = 8. В треугольнике BCD: BD = √(BC² + CD²) = √((8√2)² + 8²) = √(128 + 64) = √192 = 8√3.

Ответ: 8√3.