ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна.
Задание №1
На координатной прямой отмечены числа a и b:
Какое из следующих утверждений неверно?
1)
2)
3)
4)
Решение:
Заметим, что и , и проверим все варианты ответа:
1) — верно.
2) — неверно.
3) — верно, поскольку каждое слагаемое отрицательно.
4) — верно, поскольку , а
Ответ:
2
Задание №2
В каком случае числа расположены в порядке возрастания?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1)
2) ;
3) ;
4)
Решение:
Все числа положительны, возведём их в квадрат и сравним квадраты этих чисел:
=>
Числа расположены в порядке возрастания в первом варианте.
Ответ:
1
Задание №3
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
1)
2)
3)
4)
Решение:
Решим каждое из неравенств:
1)
2) — решений нет.
3) — верно для всех
4)
Ответ:
4
Задание №3
Учёный Иванов выезжает из Москвы на конференцию в Санкт-Петербургский университет. Работа конференции начинается в 10:00. В таблице дано расписание ночных поездов Москва — Санкт-Петербург.
Номер поезда | Отправление из Москвы | Прибытие в Санкт-Петербург |
026A | 23:00 | 06:30 |
002A | 23:55 | 07:55 |
038A | 00:44 | 08:48 |
016A | 01:00 | 08:38 |
Путь от вокзала до университета занимает полтора часа. Укажите номер самого позднего (по времени отправления) из московских поездов, которые подходят учёному Иванову.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 026А
2) 002А
3) 038А
4) 016А
Решение:
Поскольку путь от вокзала до университета занимает полтора часа, поезд должен прибыть на вокзал не позднее 08:30. Этому условию удовлетворяют поезда под номерами: 026А и 002А. Из них позже отправляется поезд под номером 002А.
Правильный ответ указан под номером 2.
Ответ:
2
Задание №5
На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 9 млн пользователей.
Какое из следующих утверждений неверно?
1) Пользователей из России больше, чем пользователей с Украины.
2) Пользователей из Белоруссии больше, чем пользователей из Швеции.
3) Больше трети пользователей сети — из Украины.
4) Пользователей из России больше 4 миллионов.
В ответ запишите номер этого утверждения.
Решение:
Проанализируем все утверждения.
1) Пользователей из России больше всех, тем самым, их больше чем пользователей из Украины.
2) Сектор «Беларусь» занимает большую площадь диаграммы, чем сектор «Другие страны», а т. к. «Швеция» включена в «Другие страны» пользователей из Беларуси больше чем пользователей из Швеции.
3) Сектор в треть диаграммы имеет угол 360° : 3 = 120°. Угол сектора «Украина» меньше 90°, следовательно, меньше трети пользователей сети из Украины.
4) Пользователей из России больше половины всех пользователей, значит, больше 9 : 2 = 4,5 млн, а значит, больше 4 миллионов.
Ответ:
3
Задание №6
Найдите значение выражения
Решение:
Умножим числитель и знаменатель на 10:
2,25
Задание №7
Найдите корни уравнения .
Решение:
По теореме Виета, корни можно подобрать устно.
Ответ:
-9; 2
Задание №8
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
1)
2)
3)
4)
Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке
А | Б | В |
Решение:
Определим вид графика каждой из функций.
1) уравнение гиперболы,
2) уравнение прямой,
3) уравнение параболы с вертикальным расположением веток,
4) уравнение верхней ветви параболы, направленной вправо.
Тем самым найдено соответствие: A — 2, Б — 4, В — 3.
Ответ:
243
Задание №9
Арифметическая прогрессия задана условиями: , . Найдите
Решение:
Определим разность арифметической прогрессии:
Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле
Необходимо найти , имеем:
Ответ:
39
Задание №10
Упростите выражение , найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.
Решение:
Упростим выражение:
Найдём значение выражения при :
Ответ:
8
Задание №11
Найдите угол ABC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.
Решение:
Поскольку в треугольнике сумма всех углов равна 180°, угол ADС равен 180° − 30° − 80° = 70°. В равнобедренной трапеции углы BCD и CDA — односторонние, значит, угол ABC равен 110°.
Ответ:
110
Задание №12
Центральный угол AOB равен 60°. Найдите длину хорды AB, на которую он опирается, если радиус окружности равен 5.
Решение:
Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть BAO равен x, тогда x + x + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, AB = 5.
Ответ:
5
Задание №13
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
Ответ:
40
Задание №14
Найдите тангенс угла А треугольника ABC, изображённого на рисунке.
Решение:
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Ответ:
0,4
Задание №15
Укажите номера верных утверждений.
1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) Вертикальные углы равны.
3) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.
Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.
Решение:
Проверим каждое из утверждений.
1) «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны» — верно по признаку подобия треугольников.
2) «Вертикальные углы равны» — верно, это теорема планиметрии.
3) «Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой» — неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.
Ответ:
12
Задание №16
На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наименьшее значение атмосферного давления во вторник.
Решение:
Цена деления шкалы давления: мм рт. ст. Наименьшее значение давления во вторник равно мм рт. ст. плюс половина цены деления шкалы давления:
Ответ:
751
Задание №17
Чашка, которая стоила 90 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При покупке 10 таких чашек покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?
Решение:
Стоимость одной чашки равна 90 − 0,1 · 90 = 81 руб. Стоимость 10 чашек равна 810 руб. Значит, сдача с 1000 рублей составит 190 рублей.
Ответ:
190
Задание №18
От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину провода.
Решение:
Проведём отрезок, параллельный горизонтальной прямой, как показано на рисунке. Таким образом, задача сводится к нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника; обозначим её за По теореме Пифагора:
Ответ:
10
Задание №19
В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.
Решение:
Вероятность благоприятного случая() — отношение количества благоприятных случаев к количеству всех случаев. В данной задаче благоприятным случаем является старт спортсмена не из России под номером 1. Всего благоприятных случаев 2 + 5 = 7, а количество всех случаев 13 + 2 + 5 = 20. Отношение соответственно равно
Ответ:
0,35
Задание №20
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле , где — длительность поездки, выраженная в минутах . Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 15-минутной поездки.
Решение:
Подставим в формулу значение переменной :
Ответ:
260