На этой странице представлены подробные решения заданий демоверсии ВПР 2027 по математике углублённого уровня для 7 класса. Материал содержит необходимые вычисления, преобразования и пояснения по алгебре, геометрии, вероятности и статистике.
Рекомендуется сначала самостоятельно выполнить проверочную работу, а затем сверить ход решения с представленным разбором.
Демоверсия ВПР 2027 по математике
Скачать задания и ответы: демоверсия ВПР 2027 по математике, 7 класс, углублённый уровень
Ответы и решения
Проверочная работа состоит из двух частей и включает 17 заданий. На её выполнение отводится два урока продолжительностью не более 45 минут каждый.
Часть 1. Алгебра
Задание 1. Выражение со степенями
Ответ: 1/9.
Решение:
Вычислим:
64 / (42 · 93).
Представим основания в виде степеней чисел 2 и 3:
64 = 24 · 34;
42 = 24;
93 = 36.
Тогда:
(24 · 34) / (24 · 36) = 1/32 = 1/9.
Задание 2. Преобразование выражения
Ответ: 2,6.
Решение:
Дано выражение:
(11,62 − 6,42) / (4,32 + 2 · 4,3 · 1,7 + 1,72).
В числителе используем формулу разности квадратов:
11,62 − 6,42 = (11,6 − 6,4)(11,6 + 6,4) = 5,2 · 18.
Знаменатель является квадратом суммы:
4,32 + 2 · 4,3 · 1,7 + 1,72 = (4,3 + 1,7)2 = 62 = 36.
Получаем:
5,2 · 18 : 36 = 5,2 : 2 = 2,6.
Задание 3. Многочлен стандартного вида
Ответ: 2y2 − 14y + 9.
Решение:
Раскроем скобки:
(3 − 2y)2 − 2y(y + 1).
(3 − 2y)2 = 9 − 12y + 4y2.
−2y(y + 1) = −2y2 − 2y.
Сложим подобные слагаемые:
9 − 12y + 4y2 − 2y2 − 2y = 2y2 − 14y + 9.
Задание 4. Средняя скорость
Ответ: 35 км/ч.
Решение: По графику видно, что обратный путь начался через 2 часа после начала движения.
Через 3 часа автомобиль находился на расстоянии 35 км от пункта А, а через 4 часа вернулся в пункт А.
За первый час обратного пути автомобиль проехал:
70 − 35 = 35 км.
За второй час:
35 км.
Обратный путь длиной 70 км занял 2 часа:
70 : 2 = 35 км/ч.
Задание 5. Шестизначное число
Ответ: 987630.
Решение: Число должно делиться на 15, то есть одновременно на 3 и на 5.
Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5. Для получения наибольшего числа выбираем максимально возможные цифры в порядке убывания.
Проверим число 987630:
- цифры расположены строго по убыванию: 9 > 8 > 7 > 6 > 3 > 0;
- последняя цифра 0, поэтому число делится на 5;
- сумма цифр: 9 + 8 + 7 + 6 + 3 + 0 = 33;
- 33 делится на 3.
Следовательно, число 987630 делится на 15.
Задание 6. Количество учеников
Ответ: 28.
Решение: Пусть в понедельник не пришли в школу x учеников.
Тогда пришли 13x учеников, а всего в классе:
x + 13x = 14x.
Во вторник заболели ещё двое. Не пришли:
x + 2.
Пришли:
14x − (x + 2) = 13x − 2.
По условию пришедших было в 6 раз больше:
13x − 2 = 6(x + 2).
13x − 2 = 6x + 12.
7x = 14.
x = 2.
Всего учеников:
14 · 2 = 28.
Задание 7. Решение уравнения
Ответ: −12.
Решение:
4x(x + 2) + 3 = 4x2 − 3(7 − 2x).
Раскроем скобки:
4x2 + 8x + 3 = 4x2 − 21 + 6x.
Сократим 4x2:
8x + 3 = 6x − 21.
2x = −24.
x = −12.
Задание 8. Трёхзначные числа
Ответ: 901, 911, 921, 931, 941, 951, 961, 971, 981, 991.
Решение: Пусть трёхзначное число имеет вид:
100a + 10b + c.
Число, записанное в обратном порядке:
100c + 10b + a.
Их разность равна 792:
100a + 10b + c − 100c − 10b − a = 792.
99a − 99c = 792.
99(a − c) = 792.
a − c = 8.
Поскольку a и c являются цифрами, причём c не равно нулю, возможно только:
a = 9, c = 1.
Средняя цифра b может принимать любое значение от 0 до 9.
Задание 9. Концентрация раствора
Ответ: в 16 раз.
Решение: Первоначально на 1 кг воды приходится 4 кг кислоты.
Общая масса раствора:
1 + 4 = 5 кг.
После добавления воды кислота составляет 20 % раствора. Масса кислоты не изменилась и равна 4 кг.
Новая масса раствора:
4 : 0,2 = 20 кг.
Значит, добавили:
20 − 5 = 15 кг воды.
После добавления кислоты её содержание снова стало 80 %. В конечном растворе вода составляет 20 %.
Масса воды равна:
1 + 15 = 16 кг.
Если 16 кг — это 20 % конечного раствора, то вся его масса:
16 : 0,2 = 80 кг.
Сравним с первоначальной массой:
80 : 5 = 16.
Часть 2. Геометрия, вероятность и статистика
Задание 10. Внешний угол треугольника
Ответ: 104°.
Решение: Внешний угол при вершине A равен 138°, поэтому внутренний угол A:
180° − 138° = 42°.
Внутренний угол C:
180° − 42° − 62° = 76°.
Внешний угол при вершине C:
180° − 76° = 104°.
Задание 11. Истинные утверждения
Ответ: 1 и 4.
Пояснение:
Утверждение 1 верно. Например, равнобедренный треугольник может иметь углы 45°, 45° и 90°. Один угол в два раза больше другого.
Утверждение 2 неверно. Соотношение катетов прямоугольного треугольника может быть различным.
Утверждение 3 неверно. Вертикальные углы равны, но их сумма не всегда составляет 180°.
Утверждение 4 верно. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух остальных сторон.
Задание 12. Медиана и высота
Ответ: 72.
Решение: Пусть HC = x.
Так как BC = BM, треугольник BMC равнобедренный. Высота BH является в нём также медианой:
MH = HC = x.
BM — медиана треугольника ABC, поэтому:
AM = MC.
MC = MH + HC = 2x, следовательно:
AM = 2x.
По условию AH = 54:
AH = AM + MH = 2x + x = 3x.
3x = 54.
x = 18.
AC = AM + MH + HC = 2x + x + x = 4x.
AC = 4 · 18 = 72.
Задание 13. Равнобедренные треугольники
Ответ: 58°.
Решение: В треугольнике ABC:
AB = AC, поэтому углы при основании равны:
∠ABC = ∠BCA = 77°.
Тогда:
∠BAC = 180° − 77° − 77° = 26°.
В треугольнике ADC:
AC = AD, поэтому:
∠ADC = ∠ACD = 74°.
Тогда:
∠CAD = 180° − 74° − 74° = 32°.
Точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC, поэтому:
∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 26° + 32° = 58°.
Задание 14. Сравнение возрастов
Ответ: 2 и 3.
Решение: Из условия следует:
Таня старше Кати, а Катя старше Даши.
Следовательно:
Таня > Катя > Даша.
Ксюша не младше Даши, поэтому Ксюша либо одного возраста с Дашей, либо старше неё.
Верны утверждения:
- среди указанных девочек нет никого младше Даши;
- Таня старше Даши.
Задание 15. Диаграммы водохранилищ
Пункт 1
Ответ: 4.
Решение: Средний объём пяти водохранилищ равен 32 км³, поэтому их суммарный объём:
32 · 5 = 160 км³.
Максимальный объём равен 57 км³. Его доля:
57 : 160 ≈ 0,356, или около 36 %.
Минимальный объём равен 23 км³:
23 : 160 ≈ 14 %.
Медиана равна 25 км³. Этим условиям соответствует диаграмма 4.
Пункт 2
Ответ: примерно от 25 до 37 км³.
Пояснение: На четвёртой диаграмме доля Волгоградского водохранилища составляет примерно пятую часть общего объёма.
160 · 0,2 = 32 км³.
Поэтому примерный объём составляет около 32 км³. По критериям принимаются значения от 25 до 37 км³.
Задание 16. Количество рёбер графа
Ответ: 23.
Решение: Используем теорему о сумме степеней вершин графа: сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству рёбер.
Сумма степеней:
7 · 4 + 6 · 3 = 28 + 18 = 46.
Количество рёбер:
46 : 2 = 23.
Задание 17. Средняя оценка
Пункт 1
Ответ: 7,96.
Решение:
Общая сумма баллов первой группы:
20 · 8,2 = 164.
Общая сумма баллов второй группы:
30 · 7,8 = 234.
Всего баллов:
164 + 234 = 398.
Всего студентов:
20 + 30 = 50.
Средняя оценка:
398 : 50 = 7,96.
Пункт 2
Ответ: 2 студента.
Решение: Чтобы средняя оценка стала равна 8, общая сумма баллов должна составлять:
8 · 50 = 400.
Сумму баллов необходимо увеличить на:
400 − 398 = 2.
Каждый переписавший работу студент повысил результат на 1 балл, поэтому работу переписали 2 студента.
Краткие результаты
| Задание | Результат |
|---|---|
| 1 | 1/9 |
| 2 | 2,6 |
| 3 | 2y² − 14y + 9 |
| 4 | 35 км/ч |
| 5 | 987630 |
| 6 | 28 |
| 7 | −12 |
| 8 | 901, 911, 921, 931, 941, 951, 961, 971, 981, 991 |
| 9 | В 16 раз |
| 10 | 104° |
| 11 | 1 и 4 |
| 12 | 72 |
| 13 | 58° |
| 14 | 2 и 3 |
| 15.1 | 4 |
| 15.2 | Около 32 км³ |
| 16 | 23 |
| 17.1 | 7,96 |
| 17.2 | 2 |
Система оценивания
Максимальный первичный балл за выполнение всей работы — 24.
Алгебра
| Баллы | Отметка |
|---|---|
| 0–2 | «2» |
| 3–5 | «3» |
| 6–9 | «4» |
| 10–12 | «5» |
Геометрия
| Баллы | Отметка |
|---|---|
| 0 | «2» |
| 1–2 | «3» |
| 3–4 | «4» |
| 5–6 | «5» |
Вероятность и статистика
| Баллы | Отметка |
|---|---|
| 0 | «2» |
| 1–2 | «3» |
| 3–4 | «4» |
| 5–6 | «5» |
