7. Производная и первообразная

Решение: 

Про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на на тех ин­тер­ва­лах, на ко­то­рых функ­ция убы­ва­ет, т. е. на ин­тер­ва­лах (-4,-1) и (3,5). В них со­дер­жат­ся целые точки х₃, х₄, х₅, х₉. Их 4 штуки.

Ответ: 4

Решение: 

Значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Ответ: 1,5

Прямая у = 24х + 5 является касательной к графику функции у = 32х² + bх + 7. Найдите значение b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение: 

Производная функции в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной, по заданию это 24.  а производная равна 64х + b.
Тогда составляем систему из трёх уравнений с неизвестными х,у и b.
{у = 24х + 5
{у = 32х2 + bх + 7
{64х + b = 24

Решение этой системы даёт 2 ответа:
b = 8, x = (1/4), y = 11.
b = 40, x = -(1/4), y = -1, этот корень по условию задачи отбрасываем.

Ответ: 8

Решение: 

Производная функции отрицательна там, где она убывает, то есть в точках x3,x4,x5,x9.

Ответ: 4