15. Преобразование логических выражений

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2019 г. – задание №18

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение

(48 ≠ y + 2x) \/ (A < x) \/ (A < y)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

---

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2018 г. – задание №18

Для какого наибольшего целого числа А формула

((x ≤ 9) →(x⋅x ≤ A)) ⋀ ((y⋅y ≤ A) → (y ≤ 9))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

---

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 1110₂&0101₂ = 0100₂ = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

x&51 = 0 ∨ (x&41 = 0 → x&А ≠ 0) 

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при юбом неотрицательном целом значении переменной х)?

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2017 г. – задание №18

---

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2016 г. – задание №18

Обо­зна­чим через m&n по­раз­ряд­ную конъ­юнк­цию не­от­ри­ца­тель­ных целых чисел m и n. Так, на­при­мер, 14&5 = 1110₂&0101₂ = 0100₂ = 4.

Для ка­ко­го наи­мень­ше­го не­от­ри­ца­тель­но­го це­ло­го числа А фор­му­ла

x&25 ≠ 0 → (x&17 = 0 → x&А ≠ 0)тож­де­ствен­но ис­тин­на (т.е. при­ни­ма­ет зна­че­ние 1 при любом не­от­ри­ца­тель­ном целом зна­че­нии пе­ре­мен­ной х)?

---

Определите наибольшее натуральное число A

Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

(X & A ≠ 0) → ((X & 56 = 0) →  (X & 20 ≠ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

---

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2016 г. (досрочный период) – задание №18

На числовой прямой даны два отрезка: P = [20, 50] и Q = [30,65]. Отрезок A таков, что формула

¬(x ∈ A) → ((x ∈ P) →¬ (x ∈ Q))

истинна при любом значении переменной x. Какова наименьшая возможная длина отрезка A?

---

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2015 г. (досрочный период) – задание №18

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».
Для какого наибольшего натурального числа А формула

¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 6) → ¬ДЕЛ(x, 4))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

---

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2015 г. (досрочный период) – задание №18

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».
Для какого наибольшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, 18) → (¬ДЕЛ(x, A) → ¬ДЕЛ(x, 12))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

---

Сколько существует целых значений числа A, при которых формула

((x < 5) → (x² < A)) /\ ((y² ≤ A) → (y ≤ 5))

тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?

Ответ:

Источник: СтатГрад 2017−2018

---

Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наименьшее натуральное число a, такое что выражение

( (x & 28 ≠  0) ∨  (x & 45 ≠  0)) → ((x & 48 = 0) → (x & a ≠  0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

---

На чис­ло­вой пря­мой даны два от­рез­ка: P = [10, 35] и Q = [17, 48].

Ука­жи­те наи­меньшую воз­мож­ную длину от­рез­ка A, для ко­то­ро­го фор­му­ла

((x ∈  A) → ¬(x ∈  P)) → ((x ∈  A) → (x ∈  Q))

тож­де­ствен­но ис­тин­на, то есть при­ни­ма­ет зна­че­ние 1 при любом зна­че­нии перемен­ной х.

Источник: onlyege

---

На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула

((x ∈ A) → (x² ≤ 121)) /\ ((x² ≤ 81) → (x ∈ A))

тождественно истинна при любом вещественном x. Какую наименьшую длину может иметь отрезок A?

Источник: onlyege

Решение:

((x ∉ A) + (x² ≤ 121)) · ((x² > 81) + (x ∈ A)) = 1

1	·	1	=1
((x ∉ A) + (x2 ≤ 121))	·	((x2 > 81) + (x ∈ A))	=1

((x ∉ A) + (x² ≤ 121))

Если x² ≤ 121=0, тогда (x ∉ A)=1 => x² > 121 и (x ∉ A)

-11>x и x>11 => 11 ≤ A ≤ 11, 11+11=22 

———————

((x² > 81) + (x ∈ A))

Если x² > 81=0, тогда (x ∈ A)=1 => x² ≤  81 и (x ∈ A)

-9 ≤ x ≤ 9  => -9 ≤ A ≤ 9, 9+9=18 

———————

наименьшую длину => 18

Ответ: 18

---

На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула
((x ∈ A) → (x² ≤ 64)) /\ ((y² ≤ 49) → (y ∈ A))
тождественно истинна при любых вещественных x и y. Какую наименьшую длину может иметь отрезок A?

Источник: onlyege

Решение:

((x ∈ A) → (x² ≤ 64)) /\ ((y² ≤ 49) → (y ∈ A))

(x ∉ A + x² ≤ 64) · (y² > 49 + y ∈ A) = 1

x ∉ A	x2 ≤ 64	y2 > 49	y ∈ A
1	0	0	1
	x2 > 64	y2 ≤ 49

y ∈ A ⇒ 7+7 = 14

Ответ: 14

 

---