Решение:
Если x ≥ 0, то уравнение (|x|-5)2+(y-4)2 = 9 задаёт окружность ω1 с центром в точке C1 (5; 4) радиусом 3, а если x < 0 , то оно задаёт окружность ω2 с центром в точке C2 (−5; 4) таким же радиусом (см. рисунок).
При положительных значениях a уравнение (x + 2)2 + y2 = a2 задаёт окружность ω с центром в точке C(−2; 0) радиусом a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения a , при каждом из которых окружность
ω имеет единственную общую точку с объединением окружностей ω1 и ω2 .
Из точки C проведём луч CC1 и обозначим через A1 и B1 точки его пересечения с окружностью ω1, где A1 лежит между C и C1 . Так как
%5E2%2B4%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B65%7D%5CRightarrow%20CA_1%3D%5Csqrt%7B65%7D-3%2C%20CB_1%3D%5Csqrt%7B65%7D%2B3)
При a < CA1 или a > CB1 окружности ω и ω1 не пересекаются.
При CA1 < a < CB1 окружности ω и ω1 имеют две общие точки.
При a = CA1 или a = CB1 окружности ω и ω1 касаются.
Из точки C проведём луч CC2 и обозначим через A2 и B2 точки его пересечения с окружностью ω2 , где A2 лежит между C и C2 . Так как
%5E2%2B4%5E2%7D%3D5%20%5CRightarrow%20CA_2%3D5-3%3D2%2C%20CB_2%3D5%2B3%3D8)
При a < CA2 или a > CB2 окружности ω и ω2 не пересекаются.
При CA2 < a < CB2 окружности ω и ω2 имеют две общие точки.
При a = CA2 или a = CB2 окружности ω и ω2 касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность ω касается ровно одной из двух окружностей ω1 и ω2 и не пересекается с другой. Так как CA2 < CA1 < CB2 < CB1 , то условию задачи удовлетворяют только числа 
и 
.
Ответ: 
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
