ВПР Математика 7 класс — Тренировочный вариант №9 (по образцу реального варианта, НО не совпадает)
Структура: Часть 1 (№1–11) и Часть 2 (№12–17). Все задания ниже с пошаговыми решениями и ответами. Формулировки и типы задач
схожи с реальным вариантом, но числа и контексты изменены.
Часть 1 — Подробные решения (№1–11)
Задание 1.
Найдите значение выражения: 16/3 · 9/40 : 3/5.
Решение:
16/3 · 9/40 : 3/5 = 16/3 · 9/40 · 5/3 = (16·9·5) / (3·40·3).
Сократим: 16/40 = 2/5, а 9/(3·3) = 1. Получаем (2/5)·5 = 2.
Ответ: 2.
Задание 2. Диаграмма
На диаграмме представлена информация о товарах, проданных за месяц в цветочном магазине. Всего за месяц было продано 2000 единиц товара.
2(1)
Каких товаров продано меньше всего?
Решение:
Ответ: растений в горшках; .
2(2)
Определите, сколько примерно было продано букетов
Решение:
Ответ: любое натуральное число от 500 до 600
Задание 3.
Скорость автомобиля 72 км/ч. Сколько метров он проходит за одну секунду?
Решение:
1 км/ч = 1000/3600 м/с = 5/18 м/с. Тогда 72·(5/18) = 4·5 = 20 м/с.
Ответ: 20 м/с.
Задание 4. Логика
У Иры наклеек не меньше, чем у Кати; у Лены меньше, чем у Кати; у Маши больше, чем у Иры.
- У Маши больше, чем у Лены.
- У Лены больше, чем у Иры.
- У Иры и Кати одинаково.
- У Маши больше, чем у Кати.
Решение:
Из «Ира ≥ Катя» и «Лена < Катя» следует Ира > Лена. А Маша > Ира ⇒ Маша > Лена (1 — истина).
(2) — ложь (Лена < Ира). (3) — не следует (Ира может быть > или = Кате). (4) — не следует.
Ответ: 1.
Задание 5.
Решите уравнение: 2(3x − 5) − (x + 4) = x + 1.
Решение:
6x − 10 − x − 4 = x + 1 ⇒ 5x − 14 = x + 1 ⇒ 4x = 15 ⇒ x = 15/4 = 3,75.
Ответ: 15/4.
Задание 6.
Отметьте на числовой прямой точку A(−17/6).
Решение: −17/6 ≈ −2,833… — между −3 и −2, ближе к −3.
Ответ: −17/6.
Задание 7.
На клетчатой бумаге (1×1) даны точки A(5;3), B(2;−1), C(2;4). Найдите расстояние от точки C до прямой AB.
Решение:
AB — прямая через B(2;−1) и A(5;3). Её уравнение: наклон k = (3 − (−1))/(5 − 2) = 4/3, значит 4x − 3y + b = 0. Подставим B: 4·2 − 3·(−1) + b = 8 + 3 + b = 0 ⇒ b = −11.
Расстояние от C(x₀,y₀) до 4x − 3y − 11 = 0: d = |4·2 − 3·4 − 11| / √(4² + (−3)²) = |8 − 12 − 11| / 5 = 15/5 = 3.
Ответ: 3.
Задание 8.
В треугольнике ABC AC = BC, ∠A = 42°. Найдите внешний угол при вершине C.
Решение:
Равнобедренный: ∠B = 42°. Тогда ∠C = 180° − 42° − 42° = 96°. Внешний при C смежен с внутренним: 180° − 96° = 84°.
Ответ: 84°.
Задание 9. Графики движения
9(1)
Из A в 7:00 выехал велосипедист (18 км/ч). В 8:15 из A в том же направлении выехал автомобиль (54 км/ч). На каком расстоянии от A автомобиль догнал велосипедиста?
Решение:
Фора: 1,25 ч ⇒ велосипедист прошёл 18·1,25 = 22,5 км. Разность скоростей: 36 км/ч. Время догоняния: 22,5/36 = 0,625 ч = 37,5 мин. Общее время велосипеда до встречи: 1,25 + 0,625 = 1,875 ч. Расстояние: 18·1,875 = 33,75 км.
Ответ: 33,75 км.
9(2)
На том же рисунке достройте график движения автомобиля до возвращения в A (скорости на участках постоянны).
Решение: Отметить момент встречи; далее — участок до точки остановки (горизонталь, если есть), затем обратный путь к s = 0 прямой с тем же по модулю наклоном.
Ответ: корректно достроенный график.
Задание 10.
Вычислите: (a − 3)(a + 5) − (a − 3) при a = −2.
Решение:
Вынесем (a − 3): (a − 3)[(a + 5) − 1] = (a − 3)(a + 4) = a² + a − 12.
При a = −2: 4 − 2 − 12 = −10.
Ответ: −10.
Задание 11.
Из какого наименьшего числа кусков проволоки можно собрать каркас правильного пятиугольника с одной диагональю (гнуть можно, сваривать — только в вершинах)?
Решение:
Без диагонали все 5 вершин степени 2 (чётные). Добавим одну диагональ — у её концов степень 3 (два нечётных), у остальных — 2 (чётные). В графе с ровно двумя нечётными вершинами существует эйлерова цепь ⇒ достаточно одного куска (начать и закончить в концах диагонали).
Ответ: 1.
Часть 2 — Подробные решения (№12–17)
Задание 12.
Решите систему: { 3x + 2y = 10; 5x − y = 7 }.
Решение:
Из второго: y = 5x − 7. Подставим в первое: 3x + 2(5x − 7) = 10 ⇒ 3x + 10x − 14 = 10 ⇒ 13x = 24 ⇒ x = 24/13.
y = 5·(24/13) − 7 = 120/13 − 91/13 = 29/13.
Ответ: (24/13; 29/13).
Задание 13.
В марте товар стоил 45 руб. Цена выросла на 8%, а затем ещё на 5%. Сколько рублей стала цена после второго повышения?
Решение:
После первого повышения: 45·1,08 = 48,60 руб. После второго: 48,60·1,05 = 51,03 руб.
Ответ: 51,03 руб.
Задание 14.
Параллельные прямые AB и CD пересекают прямую EF в точках K и M. Угол ∠CMF = 128°. Найдите ∠BKF.
Решение:
Смежный к 128° — острый 52°. Соответствующий угол при K равен 52°.
Ответ: 52°.
Задание 15.
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Скорость первого на 24 км/ч меньше скорости второго. Найдите скорость второго, если время, которое он затратил, в 1,25 раза меньше времени первого.
Решение:
Пусть скорость второго — x, тогда первого — x − 24. Для одинаковой дистанции времена обратно пропорциональны скоростям, а по условию t₂ = t₁/1,25 ⇒ скорость второго в 1,25 раза больше скорости первого: x = 1,25(x − 24).
1,25x − 1,25·24 = x ⇒ 0,25x = 30 ⇒ x = 120 км/ч.
Ответ: 120 км/ч.
Задание 16.
В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) высота CH к основанию AB равна 9, основание AB = 30. Найдите длину боковой стороны.
Решение:
Высота делит основание пополам: AH = HB = 15. В прямоугольном ΔCHB: CB = √(CH² + HB²) = √(9² + 15²) = √(81 + 225) = √306 = 3√34.
Ответ: 3√34.
Задание 17.
Задумали трёхзначное число, которое меньше 600 и делится на 18. Затем поменяли местами цифры десятков и единиц и вычли получившееся число из задуманного. Получили 54. Какое число было задумано?
Решение:
Пусть N = 100a + 10b + c. После перестановки десятков и единиц получаем 100a + 10c + b. Разность: N − (100a + 10c + b) = 9(b − c) = 54 ⇒ b − c = 6.
Кратность 18 ⇒ число чётное (c — чётная цифра) и сумма цифр кратна 9. Возможные пары (b, c) при b − c = 6 и чётном c: (6,0) или (8,2).
Если (b,c) = (6,0), то N = 100a + 60 и N < 600 ⇒ a ∈ {1,2,3,4,5}. Сумма цифр a + 6 кратна 9 ⇒ a = 3. Тогда N = 360 (делится на 18).
Пара (8,2) даёт N = 100a + 82; для кратности 9 нужна сумма a + 10 кратная 9 ⇒ a = 8, но 882 ≥ 600 — не подходит.
Итак, N = 360. Проверка: 360 − 306 = 54 — верно.
Ответ: 360.