Демонстрационный вариант ЕГЭ 2017, 2018, 2019 г. – задание №14. Угол между плоскостями. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1 .
Решение:
а) Пусть точка H — середина AC . Тогда BN2 = BH2 + NH2 = (3√3)2 + 62 = 63.
Вместе с тем, BM2 + MN2 = (32 + 62) + (32 + 32) = 63, а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M .
б) Проведём перпендикуляр NP к прямой 1 1 A B .
Тогда NP ⊥ A1B1 и NP ⊥ A1A. Следовательно, NP ⊥ ABB1 . Поэтому MP — проекция MN на плоскость 1 ABB1 .
Прямая BM перпендикулярна MN , тогда по теореме о трёх перпендикулярах BM ⊥ MP . Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого угла.
Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1 , то есть
. Поэтому 
Следовательно,
Ответ: б) 
Досрочный вариант ЕГЭ по математике 2017 профильный уровень задание №14.
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α , содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC , является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1 , если AA1 = 6, AB = 4 .
Решение:
а) Доказательство:
Пусть M, N — середины ребер AA1 и СС1 соответственно. MN || AC, BD1 принадлежит пл-ти BMD1N и делится MN на две равные части. BMD1N — ромб, BM=D1M.
=> треугольники D1A1M и BAM равны по катету и гипотенузе. Значит, AB=A1D1. AD=A1D1, ABCD — квадрат.
б) Пусть K — середина ребра BB1. В треугольнике BKN KH — высота, KH ⊥ BN. Треугольник MKH — прямоугольный, ∠MKH — прямой. Значит, ∠MHK — искомый угол.
MK=AB=4.
BN2 = 16+9=25. BN = 5
KH=
=
tg(∠MHK) = 
= 
Ответ: arctg
Точка М — середина ребра C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2. Найдите угол между прямыми АМ и ВА1.
Решение:
Найдем координаты точек:
A(2;0;0), M(0;1;2), B(2;2;0), A1(2;0;2)
Строим вектора через данные точки:
)
)
Находим cosα между векторами, где α — искомый угол:
Ответ: 
У правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 сторона основания равна AB=6, боковое ребро AA1=8. Найдите синус угла между прямой BC1 и плоскостью BCA1.
Решение:
Найдем координаты точек:
B(0;3;0), C1(0;-3;8), C(0;-3;0), A1(3√3;0;0)
Строим вектора через данные точки:
)
Находим перпендикулярный вектор (нормальный вектор) плоскости BCA1 через уравнение плоскости:
%0A%0A)
и %0A%0A)
Находим sinα, где α — искомый угол:
%5E2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B72%5Csqrt3%7D%7B5%5Csqrt%7B36.91%7D%7D%3D%5Cfrac%7B12%5Csqrt3%7D%7B5%5Csqrt%7B91%7D%7D%3D%5Cfrac%7B12%5Csqrt%7B273%7D%7D%7B455%7D%0A%0A)
Ответ: 
Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет 
от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.
Решение:
%5E2-(5x)%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B49x%5E2-25x%5E2%7D%3D%5Csqrt%7Bx%5E2(49-25)%7D%3Dx%5Csqrt%7B24%7D%3D2x%5Csqrt%7B6%7D%0A%0A)
1-й способ:
O(0;0;0), S(0;0;5x), C(4x√6;0;0)
%0A)
%0A)
2-й способ:
Ответ: 
или 
Задания для школы экспертов. Математика. 2016 год.
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых рёбер пирамиды 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Решение:
а) SAB треугольник
SB2=SA2+AB2 ⇒ 85=21+64 ⇒ 85=85
SAD треугольник
SD2=SA2+AD2 ⇒ 57=21+36 ⇒ 57=57
Так как прямая SA перпендикулярная прямым AB и AD, прямая SA перпендикулярна плоскости ABD.
б)
S(0;0;√21); B(0;8;0); C(6;8;0); D(6;0;0)
)
)
Ответ: 
Материалы для экспертов ЕГЭ 2016
В основании четырёхугольной пирамиды ABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Решение:
а) SAB треугольник
SB2=SA2+AB2 ⇒ 9.3=11+16 ⇒ 27=27
SAD треугольник
SD2=SA2+AD2 ⇒ 4.5=11+9 ⇒ 20=20
Так как прямая SA перпендикулярная прямым AB и AD, прямая SA перпендикулярна плоскости SABD, следовательно, SA — высота пирамиды.
б) Проекция SC на плоскость SAB будет прямая SB. Угол между прямыми SC и SB — α
Ответ: 30º
Примеры заданий №14 ЕГЭ 2017 Профиль.
скачать
Примеры заданий №14 с решениями ЕГЭ 2017 Профиль.
скачать