29. Механика (расчетная задача)

Решение:

Закон сохранения импульса связывает скорость пули υ₀ перед ударом со скоростью v₁ составного тела массой m + M сразу после удара:

а закон сохранения механической энергии – скорость составного тела сразу после удара с его скоростью v₂ в верхней точке:

Условие минимальности v₀ означает, что шар совершает полный оборот в вертикальной плоскости, но при этом натяжение нити в верхней точке (и только в ней!) обращается в нуль. Второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление x в этот момент принимает вид:

Выразив отсюда  и подставив этот результат в закон сохранения энергии, получим:

Подставив выражение для v₁ в закон сохранения импульса, получим:

Ответ: v₀=130 м/с

Решение:

1. Условие равновесия шара в первом случае:

F_A1 = T + mg, (1)

где F_A1 = ρV₁g – сила Архимеда, действующая на шар в первом случае, V₁ – объём части шара, погружённой в воду в первом случае (в данной задаче это объём всего шара), m – масса шара и ρ – плотность воды.

2. Условие равновесия шара во втором случае:

F_A2 = mg, (2)

где F_A2 = ρV₂g – сила Архимеда, действующая на шар во втором случае, V₂– объём части шара, погруженной в воду во втором случае.

3. Вычтем из уравнения (1) уравнение (2) и, учитывая, что V₁ −V₂ = Sh, получим:

Ответ: T = 5 Н

Решение:

Непосредственно перед обрывом нити в момент прохождения положения равновесия шарик движется по окружности радиусом l со скоростью $\stackrel{}{}$. В этот момент действующие на шарик сила тяжести $\mathrm{mg}$ и сила натяжения нити $\stackrel{}{}$ направлены по вертикали и вызывают центростремительное ускорение шарика (см. рисунок). Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось Oy инерциальной системы отсчёта Oxy, связанной с Землёй:

, откуда: 

При прохождении положения равновесия нить обрывается, и шарик, движущийся горизонтально со скоростью $\stackrel{}{}$ абсолютно неупруго сталкивается с покоящимся бруском. При столкновении сохраняется импульс системы «шарик + брусок». В проекциях на ось Ox получаем: mv = (M + m)u, где u – проекция скорости бруска с шариком после удара на эту ось.

Отсюда:

 м/c

Ответ: 0,5 м/с

Решение:

В инерциальной системе отсчёта Оху, связанной с Землёй, доска движется поступательно с постоянной скоростью. Поэтому сумма проекций на ось Ох всех сил, приложенных к доске, равна нулю (рис. а):

   F_тр1 − F = 0                                                                                                      

На рис. б показаны все силы, приложенные к стержню. Силы реакции шарнира и доски представлены горизонтальными и вертикальными составляющими: T = T₁ + T₂ и R = N + F_тр соответственно. По третьему закону Ньютона F_тр2 = −F_тр1, поэтому  F_тр2 = F_тр1 = F

По условию задачи стержень покоится, поэтому сумма моментов сил относительно оси шарнира А равна нулю. Обозначив длину стержня через L, запишем это условие:

Доска движется относительно стержня, поэтому сила трения является
силой трения скольжения: F_тр2 = μN

Подставив (3) в (2), получим уравнение:  mgcosα − 2μNsinα − 2Ncosα = 0 ,

позволяющее найти нормальную составляющую силы реакции доски:

Ответ: 0,9

Решение:

Сначала распишем силы по осям:

На ось ОХ действуют:

На ось ОУ действуют:

Уско­ре­ния те­леж­ки и груза оди­на­ко­вые, по­сколь­ку нить не­рас­тя­жи­ма. Сила на­тя­же­ния нити оди­на­ко­ва, по­сколь­ку нить не­ве­со­ма. Сло­жим все че­ты­ре урав­не­ния:

 от­ку­да

Ответ: 50 г.