19. Числа и их свойства

Решение: 

а) Пусть в школе № 1 писали тест 2 учащихся, один из них набрал 1 балл, а второй набрал 19 баллов и перешёл в школу № 2. Тогда средний балл в школе № 1 уменьшился в 10 раз.

б) Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, средний балл равнялся B, а перешедший в неё учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:

u = 0,9(m + 1) B — mB; 10u = (9 — m) B.

Если B = 7, то (9 — m)B не делится на 10, а 10u делится на 10. Но это невозможно, поскольку 10u = (9 — m)B.

в) Пусть в школе № 1 средний балл равнялся A. Тогда получаем:

u = (9 — m) A — 0,9 (8 — m) A; 10u = (18 — m) A = (9 — m) B.

Заметим, что если B = 1 или B = 3, то 10u = (9 — m)B не делится на 10. Если
B = 2 или B = 4 , то m = 4. В первом случае 14 A = 10, а во втором 14 A = 20.
Значит, ни один из этих случаев не возможен.
При B = 5 и m = 3 получаем u = 3 и A = 2 . Этот случай реализуется, например,
если в школе № 1 писали тест 6 учащихся, 3 из них набрали по 1 баллу, а 3 — по 3 балла, в школе № 2 писали тест 3 учащихся и каждый набрал по 5 баллов, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося – 3 балла.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

Решение: 

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
4k −8l + 0⋅m = − 3(k + l +m).

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k + l + m — количество целых чисел — делится на 4.
По условию 40 < k + l + m < 48, поэтому k + l + m = 44. Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство 4k −8l = − 3(k + l +m) к виду 5l = 7k + 3m. Так как m≥ 0, получаем, что 5l ≥ 7k , откуда l > k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) Подставим k + l + m = 44 в правую часть равенства 4k −8l = − 3(k + l + m):
4k − 8l = −132, откуда k = 2l − 33 . Так как k + l ≤ 44 , получаем: 3l − 33 ≤ 44;
3l ≤ 77; l ≤ 25; k = 2l − 33 ≤17, то есть положительных чисел не более 17.

Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и 2 раза написан 0. Тогда ; указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Решение: 

а) Да, например 6, 7, 8, 9, 10.

б) Нет. Если попытаться добавить число к набору 6, 7, 8, 9, 10, которое будет меньше 6, то произведение этого числа и 6 будет меньше 40. А если к этому же набору прибавить число, большее 10, то произведение этого числа и 10 будет больше 100.

в) 35. Докажем, что четыре подходящих числа 7, 8, 9, 11 обладают наибольшей суммой среди всех подходящих четверок чисел. Этот набор можно изменить, заменив 7 на 6 – сумма будет меньше. Также можно заменить 11 на 10 – снова получим уменьшение. А вот заменять число из данного набора на число, которое будет больше 11 нельзя: произведение этого числа и 10 будет больше 100. Поэтому данная четверка
обладает наибольшей суммой.

Ответ: а) да; б) нет; в) 35.