23. Функции и их свойства. Графики функций

Решение:

Разложим числитель дроби на множители:

x⁴ −13x² + 36 = (x² − 4)(x² − 9) = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)

При x ≠ −2 и x ≠ 3 функция принимает вид:
y = (x − 2)(x + 3) = x2 + x − 6 ,

её график — парабола, из которой выколоты точки (−2; −4) и (3; 6).

Прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая.
Вершина параболы имеет координаты (−0,5; −6,25).

Поэтому c = −6,25, c = −4 или c = 6.

Решение:

 Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:  при усло­вии, что x ≠−5. По­стро­им гра­фик. Пря­мая y = m не имеет с гра­фи­ком ни одной общей точки при m=3 и  .

Ответ:

Решение:

о­ор­ди­на­та x вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле . Ко­ор­ди­на­та y_B вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой x_B в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по одну сто­ро­ну от оси x, если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин имеют оди­на­ко­вые знаки. Вспом­нив, что два со­мно­жи­те­ля имеют оди­на­ко­вый знак тогда и толь­ко тогда, когда их про­из­ве­де­ние по­ло­жи­тель­но, со­ста­вим и решим не­ра­вен­ство:

(4m² — 8m² + m)(-16m² + 32m² + 4) > 0

(-4m² + m)(16m² + 4) > 0

За­ме­тим, что вто­рой мно­жи­тель все­гда боль­ше нуля, по­это­му на него можно раз­де­лить.

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ: 

 Ответ: